resolver $\sin(5x)+\sin(x)=0$ utilizando las fórmulas de suma

Question

Así que symbolab dice que es sólo

$$2 \sin(3x) \cos(2x)$$

Pero tras aplicar la fórmula de la suma de ángulos obtengo

$$\sin(5x)+\sin(x)=\sin(3x+2x)+\sin(x)=\sin(3x)\cos(2x)+\sin(2x)\cos(3x)+\sin(x)$$

¿Cómo se reduce más?

Answer 1

Utilice el hecho de que \begin{align}\require{cancel}\sin(5x)+\sin(x)&=\sin(3x+2x)+\sin(3x-2x)\\&=\sin(3x)\cos(2x)+\cancel{\sin(2x)\cos(3x)}+\\&\qquad+\sin(3x)\cos(2x)-\cancel{\sin(2x)\cos(3x)}\\&=2\sin(3x)\cos(2x).\end{align}

Answer 2

Considere las fórmulas $$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$$ $$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$$

Sumando obtenemos:

$$\sin(a+b)+\sin(a-b) = 2 \sin(a)\cos(b) \tag{1}$$

Sea $u=a+b$ y $v=a-b$ por lo que tenemos $a = \frac{u+v}{2}$ y $b = \frac{u-v}{2}$ y $(1)$ se convierte:

$$\bbox[10px,border:1px solid]{ \sin(u)+\sin(v) = 2 \sin(\tfrac{u+v}{2})\cos(\tfrac{u-v}{2}) }$$

Ahora utilice esta fórmula con $u=5x$ y $v=x$

Answer 3

Utilizando la fórmula del ángulo compuesto, $$ \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}, $$ tenemos $$ \begin{array}{l} \sin 5 x+\sin x=0 \\ 2 \sin 3 x \cos 2 x=0 \\ \sin 3 x=0 \text { or } \cos 2 x=0 \\ \displaystyle 3 x=n \pi \text { or } 2 x=n \pi+\frac{\pi}{2} \\ \displaystyle x=\frac{n \pi}{3} \text { or } \frac{(2 n+1) \pi}{4}, \end{array} $$ donde $n\in Z.$