Sobre la raíz enésima principal

Question

[ $n_{th}$ raíz]

Una dificultad de esta elección es que, para un número real negativo y un índice impar, la raíz enésima principal no es la real. Por ejemplo, ${\displaystyle -8}$ tiene tres raíces cúbicas, ${\displaystyle -2}, {\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$ y ${\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}.}$ La raíz cúbica real es ${\displaystyle -2} $ y la raíz cúbica principal es ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.} $ .

Raíz del cubo

En algunos contextos, en particular cuando el número cuya raíz cúbica debe tomarse es un número real, una de las raíces cúbicas ( en este caso concreto el real ) se denomina raíz cúbica principal con el signo radical ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{~^{~}}}.} $

Me confunden estas dos descripciones de " raíz cúbica principal " que parece conducir a un resultado diferente, la segunda descripción denota que el raíz cúbica principal de $-8$ es $-2$ mientras que el primero es ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}$ . ¿O lo he interpretado mal?

Existe una definición sobre principal $n_{th}$ raíz ? . ¿Está bien con esta definición? Gracias.

Answer 1

En efecto, se trata de dos definiciones diferentes.

La primera describe cómo seleccionar al director $n$ raíz de un número complejo. Como se describe en el artículo de Wikipedia que has enlazado, para un número complejo distinto de cero $z$ , $z^{1/n}$ describe $n$ valores diferentes. En otras palabras, $z\mapsto z^{1/n}$ es una "función multivaluada". Sin embargo, la mayoría de las veces querrá trabajar con una función de un solo valor. Si desea una función $f(z)$ que toma como entrada $z$ y escupe uno de los valores de $z^{1/n}$ se necesita algún tipo de regla para elegir cuál de los $n$ valores posibles es su resultado. La opción más común es principal $n$ ª raíz que se define mediante la fórmula $f(z) = |z|^{1/n}e^{i{\rm Arg}(z)/n}$ donde ${\rm Arg}(z)$ es el único ángulo del número complejo que se encuentra en el intervalo $(-\pi,\pi]$ . Otra forma de escribirlo es $$f(z) = r^{1/n}(\cos(\theta/n)+i\sin(\theta/n)),$$ donde $z=re^{i\theta}=r\cos\theta+ir\sin\theta$ es la forma polar del número complejo $z$ y volvemos a insistir $\theta\in(-\pi,\pi]$ .

Utilizando diferentes rangos de valores angulares describir diferentes formas de definir un $n$ sobre el plano complejo. Ni siquiera los matemáticos están completamente de acuerdo sobre qué rango de ángulos es el "principal", pero $(-\pi,\pi]$ parece ser el más popular.

En general, una versión de un solo valor de una función multivaluada se conoce como una "rama" de la función. Así que a veces verás la $f$ que hemos definido anteriormente como la "rama principal del $z^{1/n}$ ."

La otra definición de raíz principal es mucho más rara, y sólo la he visto en contextos más elementales (fíjate que tu enlace es a un curso universitario de álgebra). Si lees un libro de matemáticas avanzadas o hablas con un matemático y te dice "la raíz principal $n$ raíz", casi seguro que se refieren a la primera definición que he comentado.

Answer 2

Los enlaces sugeridos en los comentarios no responden a su pregunta, que es válida.

En esencia, estás preguntando por qué parece haber dos definiciones diferentes de "principal" para la raíz cúbica: una definición diría que $-8$ tiene la raíz cúbica principal $1 + i \sqrt{3}$ y la otra tiene la raíz cúbica principal $-2$ .

De hecho, esta aparente discrepancia en las definiciones se extendería a cualquier quinta, séptima y cualquier potencia de la forma $$z^{1/(2m+1)} = \sqrt[2m+1]{z}$$ donde $m$ es un número entero positivo.

Una forma de resolver la discrepancia es utilizar la primera definición siempre que utilicemos la notación del lado izquierdo de la ecuación anterior, y utilizar la segunda definición siempre que utilicemos la notación del lado derecho. Así, por ejemplo, la raíz principal de $$(-8)^{1/3} = 1 + i \sqrt{3},$$ pero $$\sqrt[3]{-8} = -2.$$

Sin embargo, esto sigue siendo insatisfactorio, ya que no es una práctica habitual. La verdad es que "principal" no caracteriza de forma inequívoca lo que queremos decir en estas situaciones. Una forma de solucionarlo es utilizar una terminología diferente para cada definición; por ejemplo, llamar a la primera definición "raíz principal" y a la segunda "raíz real principal" o "raíz real-valorada principal".