Construcción de extensiones de grupo en GAP.

Question

Tengo la siguiente pregunta general: Dados dos grupos finitos $N$ y $H$ ¿cómo podemos encontrar, utilizando GAP, todos los grupos $G$ (hasta un isomorfismo, por supuesto) tal que $$1 \rightarrow N \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 1$$ ¿es una secuencia exacta corta? En el caso de las secuencias divisorias, sé cómo resolver el problema (calculando productos semidirectos), pero no tengo ni idea de cómo construir secuencias no divisorias.

Answer 1

Sus comentarios indican que está interesado en un caso de $\gcd(|N|,|H|)=1$ . En esta situación (debido al teorema de Schur/Zassenhaus) cualquier extensión es un producto semidirecto. Se pueden clasificar tales extensiones calculando el AutomorphismGroup de $N$ y calcular (clases de) homomorfismos a partir de $H$ a $\mbox{Aut}(N)$ : Ej.

gap> N:=AbelianGroup([5,5,5]);
<pc group of size 125 with 3 generators>
gap> H:=SymmetricGroup(4);;
gap> au:=AutomorphismGroup(N);
<group with 4 generators>
gap> homs:=AllHomomorphismClasses(H,au);
[ [ (1,3,2), (3,4) ] -> [ [ f1, f2, f3 ] -> [ f1, f2, f3 ],
      [ f1, f2, f3 ] -> [ f1, f2, f3 ] ], [...]o
gap> ext:=List(homs,x->SemidirectProduct(H,x,N));
[ <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators>,
  <pc group of size 3000 with 7 generators> ]
gap> List(ext,x->Length(ConjugacyClasses(x))); # show they are non-isomorphic
[ 625, 253, 325, 265, 38, 165, 26, 105 ]