Lema de Levy sobre la cardinalidad hereditaria

Question

Sea $\kappa$ sea un cardinal y recuerde $HC(\kappa^+)= \{y: |TC(y)|<\kappa^+\}$ .

Si $x\in HC(\kappa^+)$ y $x\in L_{\alpha}$ para algunos $\alpha$ , $x\in L_{\beta}$ para algunos $\beta \in HC(\kappa^+)$ donde $L$ d la jerarquía construible.

Vi este resultado en una prueba de la consistencia de GCH pero no recuerdo haberlo visto demostrado antes. Se atribuyó a Levy, por si sirve de algo.

¿Podría alguien indicarme una prueba o proporcionármela directamente? Cuanto más básica y específica sea la prueba, mejor.

Answer 1

Se trata de una aplicación directa del lema de condensación. Permítanme suponer que sin pérdida de generalidad, $\alpha$ es un ordinal límite.

Desde $x\in L_\alpha$ consideremos el submodelo elemental de $L_\alpha$ generado por $\operatorname{TC}(\{x\})$ Este es un modelo $N$ tal que:

1. $N$ tiene fundamento,
2. $x\in N$ ,
3. el cierre transitivo de $x$ es un subconjunto de $N$ y
4. $|N|\leq|\operatorname{TC}(x)|+\aleph_0$ .

Apliquemos el lema de colapso de Mostowski y obtendremos unas transitivas $N'$ tal que $x\in N'$ (esto se debe al 3 de la lista anterior).

Pero sabemos que $N\models V=L$ Así que $N'\models V=L$ . Y los únicos modelos transitivos de $V=L$ son de la forma $L_\beta$ . Así que $N'=L_\beta$ para algunos $\beta$ .

Por último, puesto que $|N|<\kappa^+$ se deduce que $\beta<\kappa^+$ ya que $|N'|=|\beta|$ .