Grupo de Galois de un polinomio

Question

Quiero saber cómo encontrar un polinomio $f(x)$ de grado $5$ en $\mathbb{Q}[x]$ con grupos de Galois $G_f=\mathbb{S}_5$

Answer 1

Un enfoque estándar consiste en construir un polinomio irreducible de grado $5$ que tiene tres raíces reales y dos raíces complejas no reales, que son necesariamente conjugadas.

El hecho de que el polinomio sea irreducible nos dice que el grupo de Galois, considerado como un grupo de permutación sobre las raíces, es transitivo sobre las raíces, por lo que tiene orden divisible por $5$ y, por tanto, contiene un $5$ -ciclo.

El hecho sobre las raíces te dice que la conjugación compleja es una $2$ -ciclo.

Ahora un $5$ -ciclo y un $2$ -generar ciclo $S_5$ .

Answer 2

$$ \rm X^5 + 10 \, X^2 - 5$$

es irreducible por Eisenstein, y Wolfram dice que tiene tres raíces reales.