Ciclos de permutación

Question

Mis tareas son las siguientes :

Tarea 1 :

Demostrar que $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & r-1 & r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3& \cdots & r & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & \cdots & 1 & 2 \end{pmatrix}= \cdots = \begin{pmatrix} r & 1 &\cdots & r-1 \end{pmatrix}$

y concluir que existen exactamente r notaciones de este tipo para un ciclo r

Mi intento:

Mi interpretación de por qué esto sería cierto es la siguiente:

Se le da una permutación $f \in S_X $ tal que:

$f(1) =2 , f(2) =3 ,\ldots , f(r-1) = r , f(r) =1$

Por tanto, al construir un ciclo r, elegimos r para el primer elemento del ciclo, mientras que los restantes $r -1 $ son dictados por $f$ y por lo tanto:

$r \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1 = r $ .

Tarea 2:

si $1 \leq r \leq n $ entonces hay $ \frac 1r [ n(n-1)\ldots (n-r +1)]$ r-ciclos en $S_n$

Mi intento:

Vuelvo a comprender por qué es así. Usted tiene un conjunto de $n$ elementos. De los cuales usted quiere encontrar todos los posibles r-ciclos , este es el número de permutaciones de los n elementos tomados r elemento a la vez dividir por r es decir, el número de manera que un ciclo puede ser representado

¿Puede ofrecernos alguna sugerencia o consejo sobre cómo convertir estas ideas aproximadas en pruebas rigurosas plenamente desarrolladas?

Answer 1

Ya casi has terminado. Sólo tienes que poner esto en la gramática matemática (es decir, utilizar la definición de un ciclo por $(a_0, f(a_0), \ldots, f^r(a_0))$ y señalar que $a_0$ está en un conjunto de cardinalidad $r$ (es decir, los elementos del ciclo de longitud $r$ ).
Para la Tarea 2, el argumento ya está bien formulado. Basta con decir que se utiliza el resultado de la Tarea 1.