Prueba $R$ es una relación de equivalencia.

Question

Creo que voy por buen camino.

Establecer $S = N \times N$ y para dos miembros cualesquiera $(a,b),(c,d)$ de $S$ define $(a,b) \simeq (c,d)$ siempre que $ad = bc$ . Demostrar que $\simeq$ es una relación de equivalencia en $S$ y enumerar cuatro miembros de $[(6,8)]$ .

Se me han ocurrido algunos ejemplos:

$$(1,1) \simeq (1,1)$$ $$(1,1) \simeq (2,2)$$ $$(1,1) \simeq (3,3)$$

A partir de ellas observamos simetría, transitividad y reflexividad. Creo que se trata simplemente de demostrar que estas propiedades son válidas para la relación. Creo que me confundí un poco porque la relación está hecha de tuplas en lugar de naturales.

Answer 1

Me parece que necesitas ayuda para entender cómo exactamente se supone que debes mostrar esto en lugar de sólo mirar ejemplos.

En primer lugar, debe preguntarse reflexividad . Tienes que mirar un elemento arbitrario $(a,b)$ en $N \times N$ y demostrar que bajo esta relación $\sim$ , $(a,b) \sim (a,b)$ . Bien, ¿cómo lo demostramos? Hmm, lo que tendría que ser cierto para $(a,b) \sim (a,b)$ ¿para aguantar? Por definición de $\sim$ necesitaríamos $ab = ba$ . Pero, por supuesto, esto es cierto, ya que $a$ y $b$ son números. La multiplicación es conmutativa para todos los números reales, por lo que $ab = ba$ . Eso significa que $(a,b) \sim (a,b)$ también es cierto.

Ahora tienes que demostrar que la relación es simétrico . Eso significa que tiene que demostrar si $(a,b) \sim (c,d)$ entonces $(c,d) \sim (a,b)$ . Ok, estamos asumiendo $(a,b) \sim (c,d)$ . ¿Qué significa eso? Significa que $ad = bc$ . Necesitamos mostrar $(c,d) \sim (a,b)$ . Pero eso significa, por definición de $\sim$ que tenemos que mostrar $cb = da$ . Pero sabemos que $cb = bc$ y $ad = da$ ya que la multiplicación de números reales es conmutativa. Y por suposición tenemos $ad = bc$ lo que implica que tenemos $cb = da$ que es lo que queríamos. Así que $(c,d) \sim (a,b)$ .

Por último, necesitamos $\sim$ ser transitivo . Eso significa que si asumimos $(a,b) \sim (c,d)$ y $(c,d) \sim (e,f)$ entonces queremos mostrar $(a,b) \sim (e,f)$ .

¿Qué necesitamos para $(a,b) \sim (e,f)$ ser verdad? Necesitamos $af = be$ . Demostrarlo es un poco complicado, pero nada difícil. Sólo tenemos que usar nuestras suposiciones. Sabemos que $(a,b) \sim (c,d)$ implica $ad = bc$ . También sabemos $(c,d) \sim (e,f)$ implica $cf = de$ . Queremos $af = be$ . Hmm... Si multiplicamos los lados correspondientes de la ecuación $ad = bc$ con la ecuación $cf = de$ obtenemos $adcf = bcde$ . Eso es casi lo que queremos. Tenemos $af$ por un lado y $be$ por el otro. Pero hay un $dc$ y un $cd$ en el camino... Pero espera, $dc = cd$ ya que la multiplicación es conmutativa. Y podemos dividir ambos lados por este número para obtener $af = be$ que es lo que queríamos. Así que.., $(a,b) \sim (e,f)$ según se desee.

Answer 2

No estoy seguro de lo que quiere decir con "De estos observamos...". Son simples ejemplos, y en realidad no demuestran nada :)

Tiene que demostrar que

• La relación es reflexiva: para cualquier $(a,b)\in S$ que $(a,b)\sim (a,b)$ ;
• La relación es simétrica: para cualquier $(a,b), (c,d)\in S$ que si $(a,b)\sim (c,d)$ entonces $(c,d)\sim (a,b)$ ;
• La relación es transitiva: para cualquier $(a,b), (c,d), (e,f)\in S$ que si $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$ que $(a,b)\sim (e,f)$ .

La única de ellas que podría presentar alguna dificultad es la tercera. Basta con que escribas las definiciones de lo que significan todas ellas e intentes no confundirte por el hecho de que los elementos de $S$ son a su vez conjuntos.

Answer 3

Obsérvese que la condición de que $(a,b) \sim (c,d) \iff \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . De esto se deduce que las tres propiedades de la relación de equivalencia son ciertas.

Answer 4

Reflexividad: Para dos números cualesquiera $a$ y $b$ se cumple que $ab = ba$ Así que $(a,b) \simeq (a,b)$ .

Simetría: Supongamos que $(a,b) \simeq (c,d)$ . Entonces $ad = bc$ lo que también significa que $cb = da$ Así que $(c,d) \simeq (a,b)$ .

Transitividad: Supongamos que $(a,b) \simeq (c,d)$ y $(c,d) \simeq (e,f)$ . Entonces $ad = bc$ y $cf = de$ . Esto significa que $d = \frac{bc}{a}$ Así que $cf = \frac{bce}{a} \implies af = be$ por lo que podemos concluir $af = be$ Así que $(a,b) \simeq (e,f)$ .