Empecé con la siguiente idea:
- Sea $P_k$ sea el conjunto infinito de todos los $k$ -casi primos.
- La función de recuento para $k$ -casi primos menores que $x$ es $\displaystyle \pi_k(x)\sim\frac{x}{\log x}\frac{(\log \log x)^{k-1}}{(k-1)!}$ donde el error es el siguiente $\displaystyle O\left(\frac{x(\log \log x)^{k-2}}{\log x} \right)$ . Véase la respuesta a esta pregunta MO .
- La unión de todos $P_k$ es $\mathbb{N}$ (excepto $1$ ), por lo que las funciones de recuento suman $\displaystyle \sum_k \pi_k (x)=x$ .
Quería mirar el término de error y ver cómo de grande es la discrepancia entre las funciones de recuento de la suma de primos y la función de recuento de números naturales (¡jaja!). Pero para mi sorpresa encontré lo siguiente:
Con la ampliación en serie de $\displaystyle e^t=\sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{m!}$ donde $t=\log \log x$ , obtenemos: $$ \log x = e^{\log \log x}=\sum_{m=1}^\infty\frac{(\log \log x)^{m-1}}{(m-1)!}. $$ Aquí he utilizado una serie de Taylor con derivadas respecto a $\log \log x$ . Utilizamos $\displaystyle \frac{d^me^{\log \log x}}{d(\log \log x)^m}=1$ . Ahora resumiendo todo $\pi_k(x)$ tenemos $$ x=\sum_k \pi_k(x) \sim \frac{x}{\log x} \sum_{k=1}^\infty\frac{(\log \log x)^{k-1}}{(k-1)!} =x. $$
Vale, es correcto, pero ¿por qué? ¿Se cancelan todos los términos de error o es sólo un artefacto de la mala aproximación de la función de recuento? $\pi_k(x)$ ?
