Teoría de Números Primeros Recíprocos nunca un entero

Question

Estoy en teoría de números y actualmente tengo estos problemas asignados como deberes. He mirado a través de las secciones que contienen estos problemas y he resuelto / aprobado la mayoría de los otros problemas, pero no puedo averiguar estos.

1. Para $n>1$ demuestre que todo divisor primo de $n!+1$ es un número entero impar mayor que $n$ .

2. Suponiendo que $p_n$ es el $n$ número primo, demuestre que la suma $\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+...+\frac{1}{p_n}$ nunca es un número entero.

3. ¡Cuántos ceros terminan 1.111! ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pista:

1. Tenga en cuenta que si $n>1$ entonces $n\geqslant2$ y así $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$ es par. Observe también que $\gcd(n!,n!+1)=1.$ De ello se deduce que si $p$ es un factor primo de $n!+1$ entonces tiene que ser coprimo con $n!$ y así $p>n.$

2. Supongamos que para algunos $n$ es un número entero. Llámalo $A.$ Entonces $$\begin{aligned}2\cdot3\cdots p_n\cdot A&=3\cdot5\cdots p_n+2\cdot5\cdot7\cdots p_n+\cdots+2\cdot3\cdots p_{n-1}\\\\&=3\cdot5\cdots p_n+2\cdot(5\cdot7\cdots p_n+\cdots+3\cdots p_{n-1}).\end{aligned}$$ Para $A$ entero, ¿qué puede concluir?

3. El número de ceros terminales de $n!$ es igual a la mayor potencia de $5$ que divide $n!,$ que es $\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\log_5n\rfloor}\left\lfloor\dfrac{n}{5^k}\right\rfloor.$

Answer 2

Sean p1,...,pn diferentes números primos. ¿Puede la suma de sus recíprocos ser un número entero? Si A = 1/p1 + ... + 1/pn, entonces A.p1....pn = p2....pn + p1.p3....pn + ... Elijamos un primo cualquiera, pi. Divide el lado izquierdo y está contenido en todos los sumandos del lado derecho, excepto en el que se omite pi. Además este producto de los otros primos no es divisible por él. Por tanto, divide todos los sumandos menos uno: por tanto, no divide el lado derecho. Contradicción. Así que la suma de recíprocos de diferentes primos (no forzosamente consecutivos) no puede ser un número entero.