Transformaciones del doblete de Higgs

Question

Si consideramos dos dobletes complejos de Higgs con $SU(3)_{c} ⊗ SU(2)_L ⊗ U(1)_Y$ números cuánticos $\phi_{A,B}$ ∼ (1,2,1), tal que

$\phi_A = \begin{pmatrix} \phi_{A}^{\dagger}\\ \dfrac{1}{\sqrt2} (Re \phi_{A}^{0} + iIm \phi_{A}^{0}) \end{pmatrix}$ & $\phi_A = \begin{pmatrix} \phi_{B}^{\dagger}\\ \dfrac{1}{\sqrt2} (Re \phi_{B}^{0} + iIm \phi_{B}^{0}) \end{pmatrix}$

Si suponemos que adquieren los valores de expectativa del vacío (vevs):

$<\phi_A> = \begin{pmatrix} 0\\ \dfrac{v_A}{\sqrt2} \end{pmatrix}$ & $<\phi_B> = \begin{pmatrix} 0\\ \dfrac{v_B}{\sqrt2} \end{pmatrix}$

Sé que podemos cambiar la base de { $\phi_A,\phi_B$ } a un { $\phi_1,\phi_2$ }, teniendo en cuenta que sólo un doblete obtiene un vev no nulo, como sigue:

$<\phi_1> = \begin{pmatrix} 0\\ \dfrac{v}{\sqrt2} \end{pmatrix}$ & $<\phi_2> = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

Mi pregunta es qué transformación concreta puedo utilizar para poder realizar esta transformación y cómo proceder a partir de ahí. Básicamente preguntando cómo puedo expresar { $\phi_A,\phi_B$ } en términos de { $\phi_1,\phi_2$ } y relacionar el $v_A, v_B $ y $v$ en total

Por favor, que alguien me ayude.

Gracias.

Answer 1

No tengo tiempo de escribir aquí la derivación. Sin embargo, puede encontrarla en este documento . El cambio de base que buscas es la ecuación (8) y las variables utilizadas en esa ecuación se definen en las ecuaciones anteriores. En la ecuación (16) dice que así se obtiene el vev que buscas, aunque, por supuesto, deberías calcularlo tú mismo.