Problema con el indicador en $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E]$

Question

Supongamos que $\mathbb E\:|X|<\infty$ . Demuestre que para todo $\epsilon>0$ existe un $p>0$ tal que si un conjunto $E\subseteq \Omega$ satisface $\mathbb P(E)<p$ entonces $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_{E}]<\epsilon$ .
Pista: Para cualquier conjunto E y $n>0$ retirada $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E]=\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}]+\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E\unicode{x1D7D9}_{\{|X|\leq n\}}]$

Para ser sincero, no entiendo su insinuación. Como

• por qué $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E]$ igual a $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}]+\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E\unicode{x1D7D9}_{\{|X|\leq n\}}]$ .
• ¿por qué trajeron tal indicador?
• Y es $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E]$ significa expectativa de $|X(\omega)|$ cuando $\omega\in E?$

He conseguido la solución:

Fijar $\epsilon>0$ . Recordemos que $|X(\omega)|<\infty$ para todos $\omega$ , $|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}\rightarrow0\textrm{ a.s.}$ También, $|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}\leq |X|$ que es integrable, por lo que por Teorema de Convergencia Dominada(DCT) se deduce que $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}]\rightarrow0$
Así, podemos elegir $n$ tal que $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}]<\frac{\epsilon}{2}$ . Consideremos ahora un conjunto cualquiera $E$ . Observe que, $$ \begin{align} \mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E] &= \mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}]+E[|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|\leq n\}}] \\ & \color{red}{\stackrel{?}{\leq}} \mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}]+n\mathbb E[\unicode{x1D7D9}_E] \\ & \color{red}{\stackrel{?}{\leq}} \frac{\epsilon}{2}+n\mathbb P(E) \end{align} $$ A partir de esto, si $\mathbb P(E)< \frac{\epsilon}{2n}$ , $\mathbb E[|X|\unicode{x1D7D9}_E]<\epsilon$ por lo que se muestra la reclamación por $p=\frac{\epsilon}{2n}$ donde $n$ es especificado anteriormente.

De la solución, también soy algunas preguntas como

• Por qué $|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|>n\}}\leq |X|?$
• ¿Cómo se les ocurren esas desigualdades marcadas en rojo? explícitamente por qué $E[|X|\unicode{x1D7D9}_{\{|X|\leq n\}}] \leq n\mathbb E[\unicode{x1D7D9}_E] \leq n\mathbb P(E)?$

Creo que toda esa confusión surge a causa de ese indicador. Tal vez no estoy entendiendo su papel aquí.

Answer 1

Recordemos la definición de función indicadora $$1_{A}\left(\omega\right)=\begin{cases}1&\text{if }\omega\in A\\0 &\text{if }\omega\not\in A \end{cases}.$$ Por lo tanto, $X1_{A}$ puede considerarse como otra variable aleatoria que toma el valor $$X1_{A}\left(\omega\right)=\begin{cases}X\left(\omega\right)&\text{if }\omega\in A\\0 &\text{if }\omega\not\in A \end{cases}. \tag{1}$$ Para responder a sus preguntas

por qué $\mathbb{E}\left[\left|X\right|\mathbb{1}_{E}\right]$ igual a $\mathbb{E}\left[\left|X\right|\mathbb{1}_{E}\mathbb{1}_{\left\{\left|X\right|>n\right\}}\right]+\mathbb{E}\left[\left|X\right|\mathbb{1}_{E}\mathbb{1}_{\left\{\left|X\right|\leq n\right\}}\right]$ .

• Se deduce del hecho de que $\omega\not\in A\iff\omega\in A^{c}$ . Por lo tanto, $1_{\left\{\left|X\right|\leq n\right\}}+1_{\left\{\left|X\right|>n\right\}}=1$ de ahí $\left|X\right|1_{E}1_{\left\{\left|X\right|\leq n\right\}}+\left|X\right|1_{E}1_{\left\{\left|X\right|> n\right\}}$ .

¿por qué trajeron tal indicador?

• Variables aleatorias como $\left|X\right|1_{\left\{\left|X\right|\leq n\right\}}$ son útiles porque 1) están acotados por $n$ 2) normalmente tenemos alguna restricción sobre la distribución de cola de $X$ : $\mathbb{P}\left(\left|X\right|>n\right)$ no puede ser demasiado grande, por lo que la parte izquierda $\left|X\right|1_{\left\{\left|X\right|> n\right\}}$ es fácil de manejar.

Y es $\mathbb{E}\left[\left|X\right|\mathbb{1}_{E}\right]$ significa expectativa de $X\left(\omega\right)$ cuando $\omega\in E$ ?

• No, no es una expectativa condicional de $X$ en el plató $E$ . Es sólo la definición normal de expectativa de variable aleatoria $X\left(\omega\right)1_{E}\left(\omega\right)$ tal como se define en (1).

Por qué $\left|X\right|\mathbb{1}_{\left\{\left|X\right|>n\right\}}\leq\left|X\right|$ ?

• Obsérvese que la función indicadora siempre está acotada arriba por 1.

¿Cómo se les ocurren esas desigualdades marcadas en rojo? explícitamente por qué $\mathbb{E}\left[\left|X\right|\mathbb{1}_{\left\{|X|\leq n\right\}}\right] \leq n\mathbb{E}\left[\mathbb{1}_{E}\right] \leq n\mathbb{P}\left(E\right)$ ?

• Creo que hay una errata, debería ser $\mathbb{E}\left[\left|X\right|1_{E}1_{\left\{|X|\leq n\right\}}\right] \leq n\mathbb{E}\left[1_{E}\right] \leq n\mathbb{P}\left(E\right)$ . Para el primer paso, observe que $\left|X\right|1_{\left\{\left|X\right|\leq n\right\}}\leq n$ por definición, por lo que $\left|X\right|1_{E}1_{\left\{\left|X\right|\leq n\right\}}\leq n 1_{E}$ y $n$ no es aleatorio. Para el segundo paso, por definición de la expectativa $\mathbb{E}\left[1_{E}\right]=1\cdot\mathbb{P}\left(\omega\in E\right)+0\cdot\mathbb{P}\left(\omega\not\in E\right)=\mathbb{P}\left(E\right)$ .

Answer 2

Sea $\Omega$ sea el espacio muestral sobre el que $X$ se define:

• deje $A := \{|X|>n\}\subset\Omega$ , $|X|1_A$ es igual a $|X|$ en $A$ y es 0 (por tanto $\leq |X|$ ) fuera $A$ Así que $|X|1_A \leq |X|$ en todo el espacio muestral.

• deje $B := \{|X|\leq n\}\subset\Omega$ para cualquier $\omega\in\Omega$ o bien

  • $\omega\in B$ pero entonces $|X(\omega)|\leq n$ y $1_B(\omega)=1$ así que $|X(\omega)|1_B(\omega)\leq n$
  • o $\omega\not\in B$ y luego $|X(\omega)|1_B(\omega) = 0 \leq n$

Ahora creo que hay un problema con el argumento tal como se presenta, creo que debería ir de esta manera $$ E[|X|1_E]=E[|X|1_{\{|X|>n\}}1_E] + E[|X|1_{\{|X|\leq n\}}1_E] \leq E[|X|1_{\{|X|>n\}}] + n E[1_E]\leq \frac \epsilon 2 + n P[E] $$

Answer 3

En $|X|(\omega) \leq n$ , $|X|\mathbb{1}_{|X| > n}(\omega) = 0$ por la definición de la función indicadora. En caso contrario, $|X|\mathbb{1}_{|X| > n}(\omega) = |X|(\omega)$ . En cualquier caso, no puede ser mayor que $|X|(\omega)$ lo que explica la desigualdad.

Para la segunda pregunta, observe que $|X| \mathbb{1}_{|X| \leq n}(\omega) \leq n$ para cualquier $\omega$ porque $\mathbb{1}_{|X| \leq n}(\omega) = 0$ siempre que $|X|(\omega) > n$ .

Tomar expectativas no cambia ninguna de las desigualdades, ya que $X \leq Y$ implica $\mathbb{E}X \leq \mathbb{E}Y$ .