¿Cómo puedo encontrar una expresión de forma cerrada para el producto $\displaystyle{\prod_{i=0}^{k-1}(1-(k-i)x)}\;$ ?
Edición 1: @Kenta S ha encontrado una forma diferente de indexarlo, ¿tienes ya alguna otra idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Markus Scheuer
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Podemos escribir el producto utilizando _Números Stirling del primer tipo $\begin{bmatrix}k\\q\end{bmatrix}$ . \begin{align*} \prod_{j=1}^k\left(1-jx\right)=\sum\{q=0}^k(-1)^{q}\begin{bmatrix}k+1\\k+1-q\end{bmatrix} x^q \end{align*} donde empezamos con el índice $j=1$ ya que el factor con $j=0$ es $\left(1-0\cdot x\right)=1$ .
Algo más elaborado podemos escribir el producto utilizando $[k]=\{1,2,\ldots,k\}$ como \begin{align*} \color{blue}{\prod_{j=1}^k\left(1-jx\right)} &=\sum_{S\subseteq[k]}\prod_{s\in S}\left(-sx\right)\tag{1.1}\\ &=\sum_{q=0}^k\left(\sum_{{S\subseteq[k]}\atop{|S|=q}}(-1)^{|S|}\left(\prod_{s\in S}s\right)\right)x^q\tag{1.2}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{q=0}^k(-1)^{q}\begin{bmatrix}k+1\\k+1-q\end{bmatrix} x^q}\tag{1.3} \end{align*}
Comentario:
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En (1.1) escribimos el producto como suma sobre todos los subconjuntos en $[k]$ . Para cada índice $s\in S$ seleccionamos $-sx$ del producto y $1$ de lo contrario.
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En (1.2) ordenamos el sumatorio según el tamaño de $S$ .
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En (1.3) utilizamos los números de Stirling del primer tipo.
Ejemplo: $k=3$
Veamos un pequeño ejemplo $k=3$ . Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\prod_{j=1}^3(1-jx)} &=(-1)^{|\emptyset|}\cdot 1\\ &\quad+\left((-1)^{|\{1\}|}\cdot 1+(-1)^{|\{2\}|}\cdot 2+(-1)^{|\{3\}|}\cdot 3\right)x\\ &\quad+\left(-1)^{|\{1,2\}|}\cdot 1\cdot 2+(-1)^{|\{1,3\}|}\cdot 1\cdot 3+(-1)^{|\{2,3\}|}\cdot 2\cdot 3\right)x^2\\ &\quad+\left((-1)^{|\{1,2,3\}|}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\right) x^3\\ &=1-(1+2+3)x+(1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3)x^2-(1\cdot 2\cdot 3)x^3\\ &\,\,\color{blue}{=1-6x+11x^2-6x^3}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{q=0}^3(-1)^{q}\begin{bmatrix}4\\4-q\end{bmatrix} x^q} \end{align*}
