El libro que estoy leyendo (Altland y Simons, Condensed Matter Field Theory, Ch. 4.2) hace uso de la identidad \begin{equation} \langle n \vert \psi \rangle \langle \psi \vert n \rangle = \langle -\psi \vert n \rangle \langle n \vert \psi \rangle, \end{equation} al derivar la integral de campo para la función de partición cuántica. Las convenciones son
\begin{equation} \begin{split} \vert n \rangle &= c^+_{i_n}...c^+_{i_1}\vert 0 \rangle \\ \vert \psi \rangle &= \exp(-\sum_j\psi_jc^+_j)\vert 0\rangle \\ \{\psi_j,c^+_k\} &= 0 =\{\psi_j,c_k\} \\ \langle \psi \vert &= \langle 0 \vert \exp(\sum_j \bar{\psi}_jc_j). \end{split} \fin Mi intento de demostrar esto fue utilizar las propiedades de los estados coherentes \begin{equation} \begin{split} \langle n \vert \psi \rangle &= \psi_{i_1}...\psi_{i_n} \\ \langle \psi \vert n \rangle &= \bar{\psi}_{i_n}...\bar{\psi}_{i_1} \\ \langle -\psi \vert n \rangle &= \langle 0\vert \exp(\sum_j(-\bar{\psi}_j)c_j)c^+_{i_n}...c^+_{i_1}\vert 0 \rangle \\&= (-)^n \langle \psi \vert n \rangle \end{split} \fin Y entonces \begin{equation} \begin{split} \langle n \vert \psi \rangle \langle \psi \vert n \rangle &= \psi_{i_1}...\psi_{i_n}\bar{\psi}_{i_n}...\bar{\psi}_{i_1}=((-)^n)^n \langle \psi \vert n \rangle \langle n \vert \psi \rangle \\ &= ((-)^n)^{n-1} \langle -\psi \vert n \rangle \langle n \vert \psi \rangle = \langle (-)^n \psi \vert n \rangle \langle n \vert \psi \rangle. \end{split} \fin Tiene que haber un error en alguna parte, pero no sé dónde.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No veo ningún error en su consideración. Detengámonos antes del último paso de sus igualdades y veamos $$ \langle n|\psi\rangle\langle\psi|n\rangle = ((-)^n)^{n-1} \langle-\psi|n\rangle\langle n|\psi\rangle. $$ En realidad tenemos $$ ((-)^n)^{n-1} = (-)^{n(n-1)} = 1 $$ debido al número $n(n-1)$ es par para todo número entero $n$ .
