¿Puedo resolverlo de otro modo que no sea utilizando las sumas o las identidades de Newton?

Question

$\begin{cases} &x + y + z = 12\\& x^2 + y^2 + z^2 = 12 \\ & x^3 +y^3 + z^3 = 12 \end{cases}$

Si $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen el sistema de ecuaciones anterior, ¿cuál es el valor de $x^4+y^4+z^4?$

La gente me ha dicho que esto se puede resolver utilizando las sumas de Newton o las identidades de Newton que no sé cómo. ¿Alguien sabe cómo hacer eso o cualquier otro método para resolver esto?

Answer 1

El siguiente método, que utiliza el teorema de Cayley-Hamilton, puede considerarse como el uso secreto de las identidades de Newton, pero en mi opinión es más transparente:

Sea $$ X = \left(\begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \\ \end{matrix} \right) \,.$$

Nos interesan los rastros de $X^n$ . El polinomio característico de $X$ es $$p(\lambda) = \det(\lambda - X) = \lambda^3 - (x+y+z) \lambda^2 + (xy + yz + zx)\lambda - xyz\,.$$ El segundo coeficiente es $-12$ el tercer coeficiente se obtiene calculando $(x+y+z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)$ , dando $66$

Para encontrar $xyz$ se puede hacer álgebra como en otras respuestas, o utilizar el teorema de Cayley-Hamilton, que dice que $p(X) = 0$ . Tomando la traza, se obtiene $3xyz = 12 - 12\cdot 12+12\cdot 66$ o $xyz = 220$ .

Así (de Cayley-Hamilton) $$ p(X) = X^3 - 12X^2 + 66X - 220 = 0\,.$$ A partir de esta identidad, es fácil obtener la relación de recursión $$S_n = x^n + y^n + z^n = \mathrm{tr} [X^n] = \mathrm{tr}[X^{n-3} (12 X^2 - 66X + 220) ] = 12 S_{n-1} - 66 S_{n-2} + 220 S_{n-3}$$ dando $$S_4 = (12-66+220)\cdot 12 = 1992$$

Answer 2

Tenemos $x^4+y^4+z^4$ igual $$(x+y+z)^2\left (\frac{(x+y+z)^2}{6}-(x^2+y^2+z^2) \right )+\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2}+\frac{4(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)}{3}.$$