$\begin{cases} &x + y + z = 12\\& x^2 + y^2 + z^2 = 12 \\ & x^3 +y^3 + z^3 = 12 \end{cases}$
Si $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen el sistema de ecuaciones anterior, ¿cuál es el valor de $x^4+y^4+z^4?$
La gente me ha dicho que esto se puede resolver utilizando las sumas de Newton o las identidades de Newton que no sé cómo. ¿Alguien sabe cómo hacer eso o cualquier otro método para resolver esto?
Sea $$p_i=x^i+y^i+z^i$$ y que $$e_1=x+y+z$$ $$e_2=xy+xz+yz$$ y $$e_3=xyz$$ Por las identidades de Newton, $$e_1p_3-e_2p_2+e_3p_1=p_4$$ También tenemos $$e_1=p_1$$ $$2e_2=e_1p_1-p_2=p_1^2-p_2=132$$ para que $$e_2=66$$ También $$3e_3=e_2p_1-e_1p_2+p_3=66\cdot 12-12\cdot 12+12=660$$ para que $$e_3=220$$ Por lo tanto $$p_4=12\cdot 12-12\cdot 66+12\cdot 220= 1992$$
Sea $x+y+z=3u$ , $xy+xz+yz=3v^2$ y $xyz=w^3$ .
Así, $$u=4,$$ $$3v^2=\frac{12^2-12}{2}=66,$$ que da $$v^2=22.$$ También, $$12=x^3+y^3+z^3=27u^3-27uv^2+3w^3,$$ que da $$w^3=220$$ y utilizar $$x^4+y^4+z^4=81u^4-108u^2v^2+18v^4+12uw^3.$$ Tengo $1992.$
Utilicé el conocido $uvw$ Sustituciones: https://artofproblemsolving.com/community/c6h278791
La gente me ha dicho que esto se puede resolver utilizando las sumas de Newton o las identidades de Newton, pero no sé cómo. ¿Alguien sabe cómo hacer eso o cualquier otro método para resolver esto?
Podemos solucionarlo con este método:
$\begin{align} (x+y+z)^2 &\rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+xz+yz) = 12^2 \\ &\rightarrow 12 + 2(xy+xz+yz) = 144 \\ & \rightarrow 2(xy+xz+yz) = 132 \\ & \rightarrow (xy+xz+yz) = 66\end{align}$
$\begin{align} (x+y+z)^3 &\rightarrow x^3 + y^3 + z^3 + 3(xy+xz+yz)(x+y+z) – 3xyz = 12^3 \\ &\rightarrow 12 + 3(66)(12) – 3xyz = 1728 \\ &\rightarrow 2,388 – 3xyz = 1728 \\ &\rightarrow – 3xyz = -660 \\ & \rightarrow xyz = 220 \end{align}$
$\begin{align} (xy+xz+yz)^2 & \rightarrow (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 + 2xyz(x+y+z) = 66^2 \\ & \rightarrow (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 + 2xyz(x+y+z) = 66^2 \\ & \rightarrow (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 + 2(220)(12) = 4356 \\ & \rightarrow (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 + 5280 = 4356 \\ & \rightarrow (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 = -924 \end{align}$
$\begin{align} (x^2 + y^2 + z^2)^2 & \rightarrow x^4 + y^4 + z^4 + 2\left( (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2 \right) = 12^2 \\ &\rightarrow x^4 + y^4 + z^4 + 2\left( -924 \right) = 144 \\ &\rightarrow x^4 + y^4 + z^4 + (-1848) = 144 \\ &\rightarrow x^4 + y^4 + z^4 + (-1848) = 144 \\ & \rightarrow x^4 + y^4 + z^4 = \boxed{1992} \end{align}$
Obviamente, estamos tratando con números complejos, $x = 2.467+5.005i,$ $y = 7.066,$ $z = 2.467-5.005i$ es una solución.
Si llama a $S_i=\sum x^i+y^i+z^i$ entonces tenemos esta relación:
$$S_4=\frac 16\left({S_1}^4+8\,S_3\,S_1-6\,S_2\,{S_1}^2+3\,{S_2}^2\right)$$
Puedes echar un vistazo a algunas pruebas en este tema: Hallar el valor de $a^4+b^4+c^4$
El siguiente método se debe a Euler, también explicado aquí . Escribamos:
$$S_r = x_1^r + x_2^r +x_3^r$$
para $r\in \mathbb{N}$
Considera la función:
$$f(u) = -\sum_{j=1}^3\log\left(1-\frac{x_j}{u}\right)$$
La expansión en serie alrededor del infinito de esta función viene dada por:
$$f(u) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{S_k}{k u^k}\tag{1}$$
También tenemos que $\exp\left[-f(u)\right]$ es un polinomio de tercer grado en $u^{-1}$ . Esto significa que podemos calcular $S_4$ exponenciando la serie (1), calculando el término de cuarto orden en $u^{-1}$ y poniendo el resultado a cero.
En este caso particular podemos simplificar esto, escribiendo:
$$f(u) = 12 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k u^k} + \sum_{k=4}^{\infty}\frac{S_k'}{k u^k} = -12 \log\left(1-\frac{1}{u}\right) + \sum_{k=4}^{\infty}\frac{S_k'}{k u^k}$$
donde $S'_k = S_k - 12$ .
Por lo tanto, tenemos:
$$\exp\left[-f(u)\right] = \left(1-u^{-1}\right)^{12}\left[1- \frac{S_4 - 12}{4 u^4}\right] +\mathcal{O}(u^{-5})$$
Siendo éste un polinomio de 3er grado en $u^{-1}$ significa que el coeficiente de $u^{-4}$ es igual a cero. Por lo tanto, tenemos:
$$S_4 = 4 \left[\binom{12}{4} + 3\right] = 1992$$
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