Esta pregunta se basa en la segunda parte de ésta.
Tome el Riemann $\xi$ -función : $\xi(s) =\frac12 s\,(s-1) \,\pi^{-\frac{s}{2}}\, \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\, \zeta(s)$ . La evidencia numérica sugiere que para todos los $a \in \mathbb{R}$ los ceros de:
$$g(s,a):=\xi(a+s)\pm \xi(a+1-s)$$
todos residen en la línea crítica $\Re(s)=\frac12$ .
El gráfico siguiente ilustra la demanda de $-2<a<2$ (y $\pm=+$ ). Cada línea muestra $\Im(s)$ de un cero para $g(s,a)$ en $\Re(s)=\frac12$ . En $a=0$ los ceros son iguales a los ceros no triviales $\rho$ de $\zeta(s)$ .
La parte resaltada $(a\ge 1)$ muestra el dominio en el que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{a+s}}$ y $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{a+1-s}}$ así como sus productos de Euler convergen utilizando valores de $s$ con $\Re(s)<1$ .
Tomemos $a=1$ , $\pm=-$ y $0 < \Re(s) <1$ para cada $\xi(1+s) - \xi(2-s)=0$ debe cumplirse la siguiente ecuación:
$$\frac{\zeta(s+1)}{\zeta(2-s)}=\frac{2^s\,\pi^{s-1}\,\cos\left(\frac{\pi\,s}{2}\right)\,\Gamma(3-s)}{s\,(s+1)}$$
o en términos de los primos de los productos de Euler:
$$\prod_{p=prime} \left( \dfrac{p^{s+1}- p^{2s-1}}{p^{s+1}-1} \right)= \frac{2^s\,\pi^{s-1}\,\cos\left(\frac{\pi\,s}{2}\right)\,\Gamma(3-s)}{s\,(s+1)}$$
Obsérvese que la parte real del exponente en el término $p^{2s-1}$ sólo se convierte en $0$ cuando $\Re(s)=\frac12$ . Se vuelve negativo para $s < \frac12$ . Me doy cuenta de que es una pregunta bastante amplia, pero ¿hay algo más que decir sobre la influencia de este término en la ubicación de los ceros en el dominio resaltado?
Nota adicional:
El término $p^{2s-1}$ es independiente de la elección de $a$ ; el LHS siempre lo es: $\displaystyle \prod_{p=prime} \left( \dfrac{p^{s+a}- p^{2s-1}}{p^{s+a}-1} \right)= yyy$ .
