Una distribución exponencial truncada no es una distribución exponencial.

Question

Estoy revisando un conjunto de antiguos exámenes para un curso y me he encontrado con esta pregunta que me ha dejado perplejo. He reformulado ligeramente la información pertinente y la pregunta en sí a continuación, pero estoy seguro de que es fiel a lo que se pide:

• $X$ tiene una distribución exponencial, con una media de $1$ .
• $Y = \begin{cases} X-2,& \text{if } X \geq 2\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
• Pregunta - explique por qué la distribución de $Y$ es exponencial con media $1$ .

No puede ser, ¿verdad? Seguramente hay un punto de masa en $Y=0$ ? La solución que dan es demostrar que las distribuciones acumulativas coinciden, de la siguiente manera:

$$ P(Y \leq x) = P(X-2 \leq x | X > 2)=P(X \leq x+2 | X > 2)=P(X \leq x) $$

Esto parece ir mal en el segundo paso. ¿No debería ser: $$ \begin{align} P(Y \leq x) &= P(X-2 \leq x | X \geq 2)P(X\geq 2) + P(X-2 \leq x | X < 2)P(X<2) \\ &= P(X-2 \leq x | X \geq 2)P(X\geq 2) + 1*P(X<2) \\ &= P(X \leq x+2 | X \geq 2)P(X\geq 2) + P(X<2) \\ &= P(X \leq x)P(X\geq 2) + P(X<2) \end{align} $$

lo que indicaría efectivamente una masa puntual en $0$ ?

Answer 1

Esa afirmación proporcionada claramente no es correcta, como señaló @Xi'an. Podría arreglarse de la siguiente manera:

Defina una función de distribución exponencial truncada y desplazada tal que la función de densidad de probabilidad tal que

$f_Y(y) \propto \begin{cases} f_X(y + 2) & \text{if } y \ge 0\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Dónde $f_X$ es la función de densidad de una distribución exponencial de media 1. Entonces $Y$ seguirá, de hecho, una distribución exponencial con media 1. Esto se deja como ejercicio para el lector.

Tenga en cuenta que esto es como desplazar y truncar; si $A = B + 1$ para variables aleatorias $A$ y $B$ entonces $f_A(a) = f_B(a - 1)$ y truncamos $Y$ para que sea no negativo, lo que implica fijar $f_Y(y)$ a 0 para $y < 0$ y luego volver a estandarizar para que $f_Y$ se integra en 1.