Comprender una expresión de probabilidad por la enésima fijación

Question

Hay un inspector de control de calidad que busca fallos en artículos recién producidos en una serie de "fijaciones" independientes. Si p es la probabilidad de que se detecte un defecto durante una fijación cualquiera, aparentemente se puede formular una expresión como la siguiente para la probabilidad de que se detecte un defecto al final de la enésima fijación según el Manual de Soluciones de la 3ª ed de Estadística matemática moderna con aplicaciones :

Mi problema es que no entiendo cómo se produce la simplificación del antepenúltimo al penúltimo paso. ¿Por qué la suma de (1-p)^i desde i = 0 hasta n-1 es igual al cociente que aparece en el penúltimo paso? Parece el complemento de una probabilidad, pero no consigo entender cómo se realiza esta simplificación.

Answer 1

Usted tiene un suma geométrica en $(1-p)$ y existe una fórmula bien conocida para ello: $$ \sum_{i=1}^m ar^k = a\frac{1-r^{m+1}}{1-r}, $$ y si sustituye $a=p$ , $m = n-1$ y $r = 1-p$ llegarás a tu fórmula.