Una cuestión de transformación lineal

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V \to V$ sea una transformación lineal. Demostrar que existe una transformación lineal $S:V \to V$ tal que $TST=T$

Creo que no debería ser una pregunta difícil, pero tengo algún problema con ella. $TST=T$ significa que $TS=I$ ¿Estoy en lo cierto? Pero no todas las transformaciones lineales(matrices) son invertibles, entonces creo que $TS=I$ Puede que esté equivocado, pero no sé qué hacer a continuación. ¿Alguien podría ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Si $T$ fueran invertibles, entonces sólo habría que tomar $S=T^{-1}$ (y esa sería su única opción). Cuando $T$ no es invertible, intente construir $S$ como un "inverso" en el rango de $T$ .

Edita: Para construir $S$ , dejemos que $K$ sea el núcleo de $T$ . Ampliar una base de $K$ a una base de $V$ y así se puede construir un complemento $L$ de $K$ es decir $V=K\oplus L$ . A continuación, observa que $T$ es inyectiva en $L$ . Ahora usted tiene que $T$ como un mapa $L\to\text{ran}\, T$ es biyectiva, por lo que tiene una inversa $S':\text{ran}\,T\to L$ . Por último, amplíe $S'$ a un mapa $S:V\to V$ .

Answer 2

Tal $S$ se sabe que es la matriz pseudoinversa. Definamos la descomposición en valores singulares de $T$ como $T=ABC^*$ donde $A$ es un $m-by-m$ matriz unitaria sobre $K$ .
$B$ es un $m-by-n$ matriz sobre $K$ con números no negativos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal.
$C$ es un $n-by-n$ matriz unitaria sobre $K$ . Y definir $S=CB^-A^*$ donde $B^-$ es la pseudoinversa de $B$ . Así que.., $TST=ABC^*CB^-A^*ABC^*=ABB^-BC^*=ABC^*=T$ .