Articulación de los momentos de movimiento Browniano

Question

Mi acercamiento a este SE pregunta utiliza el siguiente conjunto de momentos de El movimiento browniano. Para $n=1,2$ son obvios y conocidos, los otros no son muy difíciles de trabajar. Hay una referencia donde estas las fórmulas se dan, o/y que hay un patrón en los coeficientes?

Fix $t_1\leq t_2\leq t_3\leq\cdots \leq t_n$. Para valores impares de $n$ tenemos $\mathbb{E}[W(t_1)\ W(t_2) \cdots W(t_n)]=0$ mientras que incluso los valores de $n$ tenemos

\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[W (t_1)\ W(t_2)]&=& t_1 \cr \mathbb{E}[W (t_1)\ W(t_2)\ W(t_3)\ W(t_4)]&=& 2t_1 t_2+t_1t_3 \cr \mathbb{E}[W (t_1)\ W(t_2)\ W(t_3)\ W(t_4)\ W(t_5)\ W(t_6)]&=& 2t_1t_2t_5+t_1 t_3 t_5 +4 t_1 t_2 t_4 +2 t_1 t_3 t_4 +6 t_1 t_2 t_3 \end{eqnarray*}

Supongo que todo sobre el movimiento Browniano se ha trabajado, pero no puedo encontrar esto en alguno de mis libros. No es muy importante, pero tengo curiosidad!

Answer 1

Considerando $t_1=t_2=...=t_{2n}$, la suma de los coeficientes es el $2n$th momento de $W(1)$, $(2n-1)!!$, que es el número de caminos de longitud $2n$ en los Jóvenes de la celosía de las particiones vacía a sí mismo.

Todavía no he probado lo siguiente, pero creo que la inducción debe trabajar.

---

Conjetura:

Los índices de los términos con coeficientes positivos corresponden a Dyck palabras, por lo que el número de términos en $E[W(t_1)W(t_2)...W(t_{2n})]$ $n$th catalán número. $t_1 t_2 t_4$ corresponde a la Dyck palabra $++-+--$ con ventajas en posiciones de $(1, 2, 4)$.

El coeficiente del término correspondiente a un Dyck palabra es el número de caminos de longitud $2n$ en los Jóvenes de la celosía de las particiones vacía a sí mismo con tal de que la partición en la que cada paso tiene un tamaño igual a la altura de la Dyck camino. El coeficiente de $t_{i_1}t_{i_2}...t_{i_n}$$\prod_{k=1}^n (2k-i_k)$. Por ejemplo, el coeficiente de $t_1 t_2 ... t_n$ es igual a $\prod_{k=1}^n (2k-k) = n!$ y rutas de acceso en los Jóvenes de la celosía que ascender $n$ veces y, a continuación, descender $n$ veces corresponden a los pares de la norma de cuadros de la misma forma, que están en bijection con permutaciones de $\{1,2,...,n\}$.

---

Answer 2

Otra fórmula para este conjunto de momento se puede encontrar como Lema 4.5 en un papel por J. Rosen y M. B. Marcus [Anales de la Probabilidad, vol. 20 no. 4 (1992) pp 1603-1684]; los autores se refieren a ella como "conocido". La formula es esta (para $n$): La articulación momento $E[W(t_1)W(t_2)\cdots W(t_n)]$ es la suma de todos los emparejamientos $\{\{a(1),b(1)\},\{a(2),b(2)\},\ldots,\{a(n/2),b(n/2)\}\}$ $\{1,2,\ldots,n\}$ de $$ \prod_{i=1}^{n/2}E[W(t_{a(i)},t_{b(i)})]. $$ Un emparejamiento es simplemente una partición de $\{1,2,\ldots,n\}$ a $n/2$ doubletons.