Buscar PDF de $Y=-2\ln X$ dado que $X$ es uniforme en $(0,1)$

Question

Sea $X$ tienen una distribución uniforme con f.d.p. $f(x) = 1$ , $x$ está en $(0, 1)$ cero en el resto. Hallar la f.d.p. de $Y = -2 \ln X$ .

No creo que sea una pregunta muy difícil, simplemente no entiendo muy bien lo que pregunta ni por dónde empezar. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Actualización $$F(y)= P(Y \le y) = P(-2\ln x \le y) = P(\ln x \ge -y/2) = P(x \ge e^{-y/2}).$$ Entonces $ x=e^{-y/2}$ y $dx/dy =-1/2e^{-y/2}$ ¿Esto es todo lo que tengo que hacer? Además, no estoy seguro al 100% de por qué estoy utilizando desigualdades aquí, ¿puede alguien darme una explicación rápida?

Answer 1

Se le pide que encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $Y$ que está relacionada con la variable aleatoria $X$ mediante la relación $Y=-2\ln X$ siendo $X$ uniforme en el intervalo $[0,1]$ . Se puede resolver considerando un cambio de variable aplicado a la función acumulativa $F(x)$ : $$F(x)=\int_0^x f(x)dx = \int_\infty^y f(y)\Big|\frac{dx}{dy}\Big|^{-1}dy$$ para que $$f(y) = f(x)\Big|\frac{dx}{dy}\Big|_y$$ y en su situación $x=\exp(-y/2)$ Así que $\Big|\frac{dx}{dy}\Big|_y = \frac{1}{2}\exp(-y/2)$ Así que $$f(y)= \frac{1}{2}\exp(-y/2)$$

Si intenta integrar $f(y)$ entre $\infty$ y $0$ puedes comprobar que te da $1$ .

Answer 2

Sea $f(x)=1_{(0,1)}(x)=F_{X}'(x)$ . Tenga en cuenta que $$F_{Y}(y)=P(X\geq e^{-y/2})=1-P(X\leq e^{-y/2})=1-F_{X}(e^{-y/2}).$$ Entonces la densidad es \begin{align} F_{Y}'(y)&=(1-F_{X}(e^{-y/2}))'\\ &=-F_{X}'(e^{-y/2})\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}(e^{-y/2})\\ &=-1_{(0,1)}(e^{-y/2})\cdot \left ( -\frac{1}{2}e^{-y/2} \right )\\ &=1_{(0,\infty)}(y)\frac{1}{2}e^{-y/2}. \end{align}

Answer 3

$ P(-2logX\le x)=P(logX\ge -x/2)=P(X\ge e^{\frac{-x}{2}})=\int_{e^{\frac{-x}{2}}}^1dt=1-e^{\frac{-x}{2}}$

$F_X(x)=1-e^{\frac{-x}{2}}$

de ahí $f_X(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{-x}{2}}$
que es el pdf de la exponencial con parámetro $\frac{1}{2}$

Answer 4

Hace mucho tiempo que lo hice, pero parece que esto también funciona. Al menos en mis simulaciones por ordenador. Tal vez sea sólo una coincidencia funciona para esta función en particular, si ese es el caso, por favor muéstreme por qué.

$Y = -2 \ln(X)$ significa que si una muestra de X es x, la muestra correspondiente de Y es $y = -2\ln(x)$

$y = \ln(x^{-2})$ y luego $e^y = x^{-2}$ y $e^{-y/2} = x$ . Vemos que como x está entre 0 y 1, y estará entre 0 e infinito. Ahora sólo tenemos que normalizar, es decir, encontrar $k$ para que $\int_0^\infty ke^{-y/2} dy = 1$ y eso es un ejercicio fácil de cálculo.