¿Cómo puedo demostrar que $\frac{k^3}{3^k}$ es monótonamente decreciente

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\frac{k^3}{3^k}$ es monótona decreciente sé que es para $3\leq k$ así que lo intento por inducción empezando por $k=3$ pero tengo problemas para mostrar es válido para $k+1$

Answer 1

Si $\dfrac{k^3}{3^k}$ es monótonamente decreciente, entonces $$\frac{k^3}{3^k}-\frac{(k+1)^3}{3^{k+1}}>0\\ \impliedby 3k^3-(k+1)^3>0 \\\impliedby 3k^3-k^3-3k^2-3k-1>0 \\\impliedby 2k^3-3k^2-3k-1>0$$ Se puede demostrar trivialmente que $2k^3-3k^2-3k-1>0$ para todos $k>3$ .

Answer 2

Sea $a_k \equiv \frac{k^3}{3^k}$ .

$a_{k+1}/a_{k} < 1$ $\iff$ $ \frac{1}{3}(1+\frac{1}{n})^3 <1$ $\iff n>2.2614$