Ejemplo de cálculo de probabilidad condicional

Question

La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias $X$ y $Y$ es

$$f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}0.0009x(1+y), \quad\text{if $(x,y)\in \Omega$}\\ 0, \quad\text{else}\end{cases}$$ y las distribuciones marginales son $$f_X(x)=0.0036(21x-2x^2-x\sqrt{x}),\quad\text{and}\quad f_Y(y)=0.0009(1+y)\frac{y^4}{512}$$ donde $$\Omega\{(x,y):4\sqrt{x}<y \quad\text{and}\quad 0<y<12\}$$ Quiero calcular la siguiente probabilidad condicional $$P(X<4|Y>4)$$ Mi idea era utilizar la siguiente definición

Si $X$ , $Y$ son variables aleatorias continuas tales que $X\in A$ y $Y\in B$ la probabilidad condicional se define como $$P(X\in A | Y\in B)=\frac{\int_B P(X\in A|y)f_Y(y)dy}{\int_Bf_Y(y)dy}$$ en mi caso esto se traduce en $$P(X<4|Y>4)=\frac{\int_{4}^{12} P(X<4|y)f_Y(y)dy}{\int_{4}^{12}f_Y(y)dy}$$ Pero me cuesta calcular el numerador $\int_{4}^{12} P(X<4|y)f_Y(y)dy$ debido a los límites de integración. ¿Puede alguien ayudarme a resolver este sencillo problema?

Answer 1

Dejando a un lado el punto sobre la función de densidad conjunta que hice en los comentarios, para encontrar $\small P(X \lt 4 | Y \gt 4)$ se puede trabajar con la densidad marginal o directamente con la función de densidad conjunta.

Si observa el diagrama, la región sombreada junta (marcada con $1$ y $2$ ) le dará $ \small P(Y \gt 4)$ . También la región sombreada en azul claro (marcada $1$ ) nos dará $\small P((X \lt 4) \cap (Y \gt 4))$ .

Dada la región sombreada en verde claro es $ \small P(X \gt 4)$ , $\small P((X \lt 4) \cap (Y \gt 4)) = P(Y \gt 4) - P(X \gt 4)$

Así que.., $\displaystyle \small P(Y \gt 4) = \int_4^{12} \int_0^{y^2/16} f(x,y) \ dx \ dy \ \ $ ...( $i$ )

$\displaystyle \small P((X \lt 4) \cap (Y \gt 4)) = P(Y \gt 4) - \int_8^{12} \int_4^{y^2/16} f(x,y) \ dx \ dy \ \ $ ...( $ii$ )

dividiendo ( $ii$ ) por ( $i$ ) nos dará $ \small P(X \lt 4 | Y \gt 4)$