Sea $G$ sea un grupo algebraico, es decir, un grupo afín reducido, separado $k$ -esquema de tipo finito con estructura de grupo.
En Grupos Algebraicos Lineales de Armand Borel el Teorema III.10.6(4) dice
Teorema 10.6 (3): Sea $G$ sea un grupo algebraico conexo y soluble. Entonces $G$ es nilpotente si y sólo si $G_s$ es un subgrupo de $G$ . En este caso, $G_s$ es un subgrupo cerrado definido sobre $k$ y $G$ es el producto directo $G_s \times G_u$ .
Los subgrupos $G_s, G_u \subset G$ son las partes semisimple resp. unipotente procedentes de la descomposición de Jordan.
La estrategia de la prueba consiste en demostrar que $G = G_s \cdot G_u$ se descompone como producto directo de grupos abstractos y se observa que $L(G_s) \cap L(G_u) = 0$ donde $L(G_s)$ y $ L(G_u)$ son las álgebras de Lie de $G_s$ resp. $G_u$ . Entonces la prueba afirma que esto ya implica que la estructura del producto $G = G_s \cdot G_u$ se mantiene como grupo algebraico, porque el mapa canónico $G_s \times G_u \to G$ es biyectiva y separable.
Una estrategia similar se utiliza también en la demostración de la parte (4) del mismo teorema para mostrar que $G$ se descompone como un producto semidirecto $G=T \cdot G_u$ de grupos algebraicos, donde $T$ es un toro maximal.
Pregunta: ¿Por qué la separabilidad del mapa del producto biyectivo $G_s \times G_u \to G$ implica que es un ismorfismo de grupos algebraicos?
El libro utiliza dos notaciones de separabilidad: un morfismo $f: V \to W$ de variedades algebraicas es separable si la extensión de campo $K(W) \subset K(V)$ es separable. También existe una noción de separabilidad para espacios homogéneos: la proyección canónica $\pi: G \to G/H$ es separable si el mapa inducido $(d \pi)_{1_G}: L(G) \to L(G/H)$ sobre álgebras de Lie en el elemento neutro $1_G$ es suryectiva. (Cor. II.6.7)
Dado que el mapa $G_s \times G_u \to G$ en mi pregunta es el mapa del producto canónico, no veo cómo se puede aplicar aquí una de estas dos definiciones de separabilidad aparentemente no relacionadas. Tal vez sea posible interpretar $G$ de alguna manera como un espacio orbital/espacio homogéneo de $G_s \times G_u$ . En absoluto, si queremos ver $G$ como un espacio orbital, entonces deberíamos tener una transitiva $(G_s \times G_u)$ -acción sobre $G$ que coincide con la estructura del producto $(u,v) \subset (u \cdot v)$ . Pero, ¿con respecto a qué acción?
Las opciones más naturales para definir un $(G_s \times G_u)$ -acción sobre $G$ puede darse a través de $((u,v), g) \mapsto u \cdot v \cdot g$ o $u \cdot g \cdot v$ .
Problema: una acción $\Phi \colon H \times S \to S$ por un grupo $H$ en el plató $S$ debe satisfacer la "relación de compatibilidad" con la multiplicación de grupos $\Phi(h_1 \cdot h_2, s)= \Phi(h_1, \Phi(h_2, s))$ para todos $h_1,h_2 \in H, s \in S$ . Pero, por desgracia, las dos conjeturas naturales no satisfacen esta regla. Así que, o bien el argumento del libro funciona de otra manera, o bien existe una $(G_s \times G_u)$ -acción sobre $G$ aplicada. Si el segundo caso es válido, me pregunto por qué el libro no anota esta acción explícitamente.
Y si hay algún $(G_s \times G_u)$ -acción sobre $G$ establecido, cómo esto implicaría que $G_s \times G_u \to G$ es un isomorfismo de grupos algebraicos? Parece que la cuestión central del argumento tiene que ver con la separabilidad, pero no veo por qué la afirmación se deduce de ello.
