problema de búsqueda de la norma

Question

Deje $f$ : $l^2$ $\to$ $\Bbb R$ se define por $$ f(x_1,x_2,x_3,......) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{2^\frac{n}{2}} \ \forall x=(x_1,x_2,....) \in l^2$$

entonces, ¿cuál es el valor de $\left\lVert f\right\rVert$ ??

Estoy recibiendo $\frac{1}{\sqrt 2-1}$ lo cual es incorrecto...la respuesta correcta es $1$ ...alguien puede ayudarme en el procedimiento....

muchas gracias.....

Answer 1

$\begin{eqnarray} |f(x_1,x_2,...)|^2&=&\left|\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2^2}+...+\frac{x_n^2}{2^n}+...\right|\\ &\le&\frac{1}{2}(|x_1^2|+|x_2^2|+|x_3^2|+...)\\ &=&\frac{1}{2}\|x\|^2 \end{eqnarray}$

Así $\|f\|\le\sqrt{\frac{1}{2}}$

Ahora, establece $x=(1,0,0,...)$ tenemos $\|x\|=1$ y $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Por lo tanto $\|f\|=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Pero, si piensas en $\ell^2$ como vectores indexados a partir de $\{0\}\cup\mathbb{N}$ entonces $f(x_0,x_1,x_2...)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x_n}{2^{n/2}}$ nos dan una funcional con norma 1. La prueba es la misma.