Resolución de la ecuación en diferencias mediante la transformada z

Question

Tengo la siguiente ecuación en diferencias:

$$\ \ y(k+2) - 2y(k+1) +2y(k) = x(k) \,$$ donde x(k) es una entrada de la forma $\ x(k) = cos(\pi k)\ $ tenemos también las condiciones de valor inicial $$\ y(0) = 1\,$$ $$\ y(1) = 1\,$$ Llegué a la siguiente ecuación aplicando las propiedades del desplazamiento temporal: $$\ Z^2Y[Z] - Z^2y(0) - Zy(1) - 2ZY[Z] + 2Zy(0) + 2Y[Z] = X[Z]\,$$ Mi objetivo era llegar a una función de transferencia para analizar cómo se comporta el sistema, pero no parece que sea posible ya que las condiciones iniciales no son cero. ¿Existen otras aproximaciones a este problema? (P.D. Necesita ser resuelto por transformada Z)

Answer 1

Para la ecuación en diferencias:

$$y(k+2) - 2y(k+1) +2y(k) = x(k)$$

Tenemos:

$$ \begin{align} x(k)&= \cos(\pi k) & y(0)&=1 & y(1)&=1\ \end{align} $$

Transformando en Z ambos lados de la ecuación:

$$ \begin{align} \mathcal{Z}\left[y(k+2) - 2y(k+1) +2y(k)\right]&=\mathcal{Z}\left[x(k)\right]\\ z^2Y(z) - z^2y(0) - zy(1) - 2zY(z) + 2zy(0) + 2Y(z) &= X(z)\\ Y(z)(z^2-2z+2)-z^2+z&=X(z)\\ \frac{Y(z)}{X(z)}(z^2-2z+2)-\frac{(z^2-z)}{X(z)}&=1\\ \frac{Y(z)}{X(z)}&=\frac{1}{(z^2-2z+2)}+\frac{(z^2-z)}{X(z)(z^2-2z+2)} \end{align} $$

Usando una tabla de transformación Z, sabemos que:

$$\mathcal{Z}[\cos(ak)]=\frac{z(z-\cos(a))}{z^2-2z\cos(a)+1}$$

Entonces:

$$X(z)=\mathcal{Z}[\cos(\pi k)]=\frac{(z^2+z)}{z^2+2z+1}$$

Sustituyéndolo de nuevo en la ecuación, tenemos:

$$ \begin{align} \frac{Y(z)}{X(z)}&=\frac{1}{(z^2-2z+2)}+\frac{z(z-1)(z^2+2z+1)}{z(z+1)(z^2-2z+2)}\\ &=\frac{(z+1)(z^2-2z+2)+(z-1)(z^2+2z+1)(z^2-2z+2)}{(z+1)(z^2-2z+2)^2}\\ &=\frac{(z+1)+(z-1)(z^2+2z+1)}{(z+1)(z^2-2z+2)}\\ &=\frac{z+1+z^3+2z^2+z-z^2-2z-1}{(z+1)(z^2-2z+2)}\\ &=\frac{z^2(z+1)}{(z+1)(z^2-2z+2)}\\ &=\frac{z^2}{(z^2-2z+2)} \end{align} $$

Si lo que hice es correcto, este es un sistema inestable, una vez que tenemos Ceros: $\{0,0\}$ Postes: $\{1\pm j\}$