Una simple pregunta sobre la varianza muestral

Question

Posible duplicado:
Una pregunta sobre la distribución de muestras

Definimos la varianza de una variable aleatoria $X$ como $E(X-X_{\text{mean}})^2$ = $E(X^2)-(E(X))^2$ y la media = $E(X)$ . Sin embargo, para el caso del muestreo , ¿Por qué averiguar la media muestral como $\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ para el caso $X_1, \dots,X_n$ son iid y la varianza muestral es $\frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i-X_{\text{mean}})^2}{n-1}$ .

Answer 1

Si la pregunta se refiere al $n-1$ en el denominador, se trata de un compromiso entre el sesgo y la precisión del estimador.

Ver también Corrección de Bessel .

Answer 2

En tu comentario concentraste tu pregunta en el por qué la media muestral se define como $\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ . Hay varias razones, unas mejores que otras:

1. Es fácil calcular, de una sola pasada
2. Es la media (media aritmética) de la muestra
3. Si se hubiera muestreado una vez toda la población (finita), la media muestral así definida sería la media poblacional.
4. La expectativa de la media muestral es la media poblacional, por lo que es un estimador insesgado de la media de la población
5. Por el ley de los grandes números la media muestral converge en cierto sentido a la media poblacional a medida que aumenta el tamaño de la muestra
6. Si la población tiene una varianza finita, entonces por la teorema central del límite la distribución de la media muestral converge hacia una distribución normal con la misma media que la media poblacional a medida que aumenta el tamaño de la muestra
7. Para algunas familias de distribuciones (pero no para otras) la media muestral es un estadística suficiente que contiene la información útil que proporciona la muestra sobre los parámetros de la distribución