Supongamos que $ L = M^n $ para algún haz de líneas $ M $ y que $ N = M^{-1} $ . Demostraremos que $ \underline{\operatorname{Spec}} (\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1} )$ es el $ n $ -cubierta de $ X $ ramificado exactamente a lo largo de $ Y $ . El resultado se deduce entonces del hecho de que para cualquier gajo cuasicoherente de álgebras $ \mathcal{A} $ en $ X $ y $ \pi : Y = \underline{\operatorname{Spec}} \mathcal{A} \rightarrow X $ el mapa de la estructura, $ \pi_* \mathcal{O}_Y = \mathcal{A} $ .
En primer lugar, la estructura del álgebra en $ \mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1} $ viene dada por la forma obvia $ N^i \otimes N^j \rightarrow N^{i+j} $ cuando $ i+ j < n $ y $ N^i \otimes N^j \rightarrow N^{i+j-n} $ cuando $ i+j \ge n $ por $ (u,v) \rightarrow suv $ . Ahora es fácil ver que la especificación relativa es efectivamente el objeto correcto: Sea $ U = \operatorname{Spec} A \subset X $ sea un afín abierto en el que $ N $ está trivializado, por lo que también lo está $ L $ . Desde $ X $ es integral, $ L $ es un divisor de Cartier, por lo que $ f \in A $ sea una función local correspondiente a $ L $ es decir $ Y \cap U $ es recortado por $ f=0 $ en $ U $ . Entonces, si $ t $ es una función racional local para $ N $ vemos inmediatamente a partir de la estructura del álgebra que $\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1} $ es generado por $ t $ como $ A $ -con la relación $ t^n = f $ es decir $ (\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1} )(U) = A[t]/t^n - f $ . El último anillo muestra inmediatamente por qué funciona la especificación relativa: $ \operatorname{Spec} (A[t]/t^n - f ) \rightarrow \operatorname{Spec} A $ es una cubierta n-hoja ramificada precisamente a lo largo del lugar cero de $ f $ .
