¿Cómo calcular imágenes directas de mapas de cobertura ramificados?

Question

Sea $X$ sea una variedad proyectiva lisa, $L$ un haz de líneas en $X$ y $s \in \Gamma(X,L)$ una sección distinta de cero cuyo lugar cero $D$ es suave.

Sea $\pi: Y \to X$ sea el $n$ -cubierta ramificada dada en coordenadas locales tomando la $n$ -raíces de la sección $s$ .

¿Cómo calculamos la imagen directa $\pi_* \mathcal{O}_Y$ ? En concreto, me gustaría saber por qué es una suma directa de varias potencias de $L$ .

Una segunda pregunta relacionada: ¿Cómo calculamos la imagen directa $\pi_* \mathbf{C}_Y$ donde $\mathbf{C}_Y$ denota la gavilla constante en $Y$ con coeficientes complejos?

Answer 1

Supongamos que $L = M^n$ para algún haz de líneas $M$ y que $N = M^{-1}$ . Demostraremos que $\underline{\operatorname{Spec}} (\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1} )$ es el $n$ -cubierta de $X$ ramificado exactamente a lo largo de $Y$ . El resultado se deduce entonces del hecho de que para cualquier gajo cuasicoherente de álgebras $\mathcal{A}$ en $X$ y $\pi : Y = \underline{\operatorname{Spec}} \mathcal{A} \rightarrow X$ el mapa de la estructura, $\pi_* \mathcal{O}_Y = \mathcal{A}$ .

En primer lugar, la estructura del álgebra en $\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1}$ viene dada por la forma obvia $N^i \otimes N^j \rightarrow N^{i+j}$ cuando $i+ j < n$ y $N^i \otimes N^j \rightarrow N^{i+j-n}$ cuando $i+j \ge n$ por $(u,v) \rightarrow suv$ . Ahora es fácil ver que la especificación relativa es efectivamente el objeto correcto: Sea $U = \operatorname{Spec} A \subset X$ sea un afín abierto en el que $N$ está trivializado, por lo que también lo está $L$ . Desde $X$ es integral, $L$ es un divisor de Cartier, por lo que $f \in A$ sea una función local correspondiente a $L$ es decir $Y \cap U$ es recortado por $f=0$ en $U$ . Entonces, si $t$ es una función racional local para $N$ vemos inmediatamente a partir de la estructura del álgebra que $\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1}$ es generado por $t$ como $A$ -con la relación $t^n = f$ es decir $(\mathcal{O}_X \oplus N \oplus \cdots \oplus N^{n-1} )(U) = A[t]/t^n - f$ . El último anillo muestra inmediatamente por qué funciona la especificación relativa: $\operatorname{Spec} (A[t]/t^n - f ) \rightarrow \operatorname{Spec} A$ es una cubierta n-hoja ramificada precisamente a lo largo del lugar cero de $f$ .