Es la distribución del logaritmo de la media de variables aleatorias Bernoulli ( $\log \overline X$ ) sigue siendo asintóticamente normal?

Question

Sea $\overline X$ sea la media de una variable aleatoria Bernoulli (v.a.r.)

$$\overline X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$$

donde $X_i \in \{0, 1\}$ . Así que basado en la Teoría del Límite Central,

$$\overline X \sim \mathcal{N}\Big(p, \frac{p(1-p)}{n}\Big)$$

Obviamente, $0 < \overline X < 1$ (ignoremos por ahora el límite 0 y 1 edgecase).

Estoy interesado en saber si otra r.v. $\log \overline X$ es asintóticamente normal.

Al principio, pensé que para $\log \overline X$ sea normal, entonces $\overline X$ debería ser log-normal, lo que no es el caso tal y como se ha descrito anteriormente.

Sin embargo, hice algunas simulaciones por ordenador, parece ser el caso de que $\log \overline X$ sigue siendo normal, ¿cómo mostrarlo formalmente, por favor?

Answer 1

Eche un vistazo aquí método delta

Así que $\bar X_n$ es asintóticamente normal con media $\mu=p$ y varianza $\sigma^2=p(1-p)$ en el sentido de que

$$ \sqrt n(\bar X_n - \mu ) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal N(0,\sigma^2)$$

a veces se escribe como

$$\bar X_n \stackrel{a}{\sim} \mathcal N(\mu,\sigma^2/n)$$

así que aquí $\sigma^2/n = p(1-p)/n = Var\left( \frac{1}{n} \sum_i^n X_i \right)$

Luego con el método delta que se basa entre otras cosas en el teorema del mapeo continuo

$\sqrt n(g(\bar X_n) - g(\mu)) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal N(0,\sigma^2 g'(\mu)^2)$

donde en el caso actual $g(t) = \log(t)$ y $g'(t) = 1/t$

por lo que la varianza de $\sqrt n(g(\bar X_n) - g(\mu))$ debe ser $\sigma^2/\mu^2$ y por lo tanto

$\log \bar X_n \stackrel{a}{\sim} \mathcal N(g(\mu),\sigma^2/(n\mu^2))$ .

por lo que la varianza $\log \bar X_n$ es $\sigma^2/(n\mu^2)$