Calcule $\int_{0}^{\frac{b}{a}}\frac{e^{\frac{x}{ax-b}}}{x+1}\mathrm{d}x$

Question

Mi compañero de instituto se encontró con un problema mientras hacía un experimento de física y necesitaba encontrar la respuesta de la integral que se muestra a continuación: $$\int_{0}^{\frac{b}{a}}\frac{b}{(b-ax)^2}·e^{\frac{x}{ax-b}}·\log_2(1+x)\mathrm{d}x \tag{1}$$ donde $a$ y $b$ es un número real positivo.
Me pidió ayuda y se la di de esta forma: $$\frac{1}{\ln2}\int_{0}^{\frac{b}{a}}\frac{e^{\frac{x}{ax-b}}}{x+1}\mathrm{d}x\tag{2}$$ Sin embargo, la función original de esta integral no es una función elemental. No sé cómo resolverla.
He intentado asignar valores a $a$ y $b$ y lo pongo en Wolfram Alpha, me devuelve la respuesta en forma de: $$\frac{1}{\ln 2}\left[\sqrt[a]{e}\operatorname{Ei}\left(-\frac{1}{a}\right)-\sqrt[a+b]{e}\operatorname{Ei}\left(-\frac{1}{a+b}\right)\right] \tag{3}$$ Sólo me pregunto cómo de integral $(2)$ puede transformarse en integral $(3)$ .

Answer 1

Sea $$\frac{x}{a x-b}=-t \quad \implies \quad x=\frac{b t}{a t+1}\quad \implies \quad dx=\frac{b}{(a t+1)^2}\,dt$$ $$I=\int\frac{b e^{-t}}{(a t+1) (t (a+b)+1)}\,dt$$ Descomposición parcial de fracciones $$\frac{1}{(a t+1) (t (a+b)+1)}=\frac{a+b}{b (t (a+b)+1)}-\frac{a}{b (a t+1)}$$ que puedes escribir $$\frac 1{b\left(t+\frac 1{a+b} \right)}-\frac 1{b\left(t+\frac 1{a} \right)}$$ $$I=\int \frac{ e^{-t}} {\left(t+\frac 1{a+b} \right)}\,dt-\int \frac{ e^{-t}} {\left(t+\frac 1{a} \right)}\,dt$$ Ahora, dos cambios obvios de variables