Sí, así que estoy un poco atascado en este problema, y tengo dos preguntas.
¿Existe una forma de definir matemáticamente un número para que no pueda ser múltiplo de $7$ ? Lo sé. $7k+1,\ 7k+2,\ 7k+3,\ \cdots$ pero se tardará mucho en demostrarlo en cada caso.
¿Es una prueba? $$(7k + a)^3 \equiv (0\cdot k + a)^3 \equiv a^3 \bmod 7$$
Gracias.
En realidad hay un teorema más general.
TEOREMA. Sea $p = 2a+1$ sea un número primo. Entonces $n^a \equiv \pm 1 \pmod p$ para todos $n \not \equiv 0 \pmod p$
PRUEBA. Porque $p$ es un número primo, $\mathbb Z_p$ es un campo y $\mathbf U_p$ es un grupo multiplicativo cíclico. Por lo tanto, existe un número entero, $g$ tal que $\mathbf U_p = \{g, g^2, g^3, \dots g^{p-1}\}$ . Por lo tanto, el polinomio $x^{p-1} - 1$ tiene $p-1$ raíces distintas; es decir, los miembros de $\mathbf U_p$ .
Desde $\dfrac{p-1}{2} = a$ , $x^{p-1} - 1 \equiv (x^a-1)(x^a+1) \pmod p$ . Por lo tanto, $a$ de los miembros de $\mathbf U_p$ son raíces de $x^a-1$ y el otro $a$ miembros de $\mathbf U_p$ son raíces de $x^a+1$ . El teorema es el siguiente.
Parece que deduces que x^(p - 1) = 1 para todo x en el grupo multiplicativo mod p del hecho de que este grupo es cíclico. Pero no conozco ninguna forma de demostrar que este grupo es cíclico que no requiera demostrar PRIMERO que x^(p - 1) = 1 para cada x. No obstante, me interesaría conocer alguna prueba de este tipo, si es que existe.
Por el pequeño teorema de Fermat, si $p$ es primo, $$x\not\equiv 0\pmod p \Leftrightarrow x^{p-1}\equiv 1\pmod p$$
Además, $$y^2\equiv 1\pmod p \Leftrightarrow y\equiv \pm 1\pmod p$$
Como 7 es primo, podemos introducir el valor en la primera expresión y el resultado se deduce de la segunda.
$$x^6\equiv 1\pmod 7 \Rightarrow x^3\equiv \pm 1\pmod 7$$
El cálculo de los casos es innecesario.
Dado que la pregunta del OP sólo requiere los fundamentos de la aritmética modular, es posible que no sepan El pequeño teorema de Fermat por lo que podría valer la pena mencionarlo por su nombre.
+1 Se me adelantó ayer en el punto de "sólo tres". Siempre me asombra el "pero eso tardará años en demostrarse en cada caso". No tienen ni idea de lo que supone, por ejemplo, la primera demostración del resultado ABC. Pero incluso las matemáticas básicas requieren cierto esfuerzo :)
Sólo para escribir los pasos completos de la prueba.
Bueno, en primer lugar, como usted ha dicho, tenemos $$(7k + a)^3 \equiv (0*k + a)^3 \equiv a^3 \bmod 7.$$
Entonces, tenemos que demostrar que la afirmación es verdadera para cada $a=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ . Para ello, como dijo Joffan, se pueden calcular los cubos que conducen a
$1^3\equiv 1\bmod 7,$
$2^3\equiv 1\bmod 7,$
$3^3\equiv -1 \bmod 7,$
$4^3\equiv 1\bmod 7,$
$5^3\equiv -1 \bmod 7,$
$6^3\equiv -1 \bmod 7.$
Esto completa la prueba.
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2. De todos modos, $7k+a\equiv a \bmod 7$ .
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Sí. Ahora mira los cubos no nulos mod 7. Puedes hacer los cálculos a mano y ver el resultado.
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En cuanto a la "definición" de los no múltiplos de $7$ matemáticamente, se podría decir $a^6\equiv 1\pmod{7}$ . Esto podría usarse como base para una prueba, pero los cálculos sugeridos en las respuestas son la mejor manera.
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Para su 2), preferiría: $\quad(7k + a)^3 \equiv 7^3k^3 + 3\cdot7^2k^2a+ 3\cdot7ka^2+a^3 \equiv a^3 \bmod 7$