Una pregunta sobre series convergentes

Question

Necesito ayuda con lo siguiente:

Nos dan la serie $\sum_1^\infty \frac{a_n}{5^n}$ y $\sum_1^\infty \frac{(-1)^na_n}{5^n}$ . También sabemos que la primera serie converge mientras que la segunda diverge. Ahora debemos responder a estas preguntas:

1) es de serie $\sum_1^\infty \frac{a_n}{5^n}$ a)absolutamente convergente o b)condicionalmente convergente?

2) es la serie $\sum_1^\infty \frac{a_n}{4^n}$ a)absolutamente convergente, b)condicionalmente convergente, c)divergente

3) es la serie $\sum_1^\infty \frac{a_n}{6^n}$ a)absolutamente convergente, b)condicionalmente convergente, c)divergente

4) ¿Cuál es el radio de convergencia de es la serie $\sum_1^\infty (n+1)a_nx^n$

1b) parece obvia y puedo ver fácilmente que 2a) es incorrecta por la prueba de comparación. Pero, ¿cómo puedo encontrar la respuesta exacta? He intentado utilizar la prueba de series, pero no me da información sobre la divergencia condicional.

Agradecería cualquier ayuda

Answer 1

Re 2., si la secuencia $\left(\frac{a_n}{4^n}\right)_{n\geqslant0}$ está acotada, entonces $|a_n|\leqslant c\cdot4^n$ para algún $c$ para cada $n\geqslant0$ Por lo tanto $\left|\frac{a_n}{5^n}\right|\leqslant c\cdot\left(\frac45\right)^n$ y $\sum\limits_n\frac{a_n}{5^n}$ es absolutamente convergente. Esto demuestra que $\left(\frac{a_n}{4^n}\right)_{n\geqslant0}$ no está acotada, por lo que $\sum\limits_n\frac{a_n}{4^n}$ diverge (2.c).

Re 3., $\sum\limits_n\frac{a_n}{5^n}$ converge, por tanto $\left(\frac{a_n}{5^n}\right)_{n\geqslant0}$ está acotada, por lo que $\left|\frac{a_n}{6^n}\right|\leqslant c\cdot\left(\frac56\right)^n$ para algún $c$ para cada $n\geqslant0$ y $\sum\limits_n\frac{a_n}{6^n}$ converge absolutamente (3.a).

Re 4., el radio de convergencia de la serie $\sum\limits_n(n+1)a_nx^n$ y $\sum\limits_na_nx^n$ son los mismos (siempre). El resultado de divergencia de 2. es válido para cada $x\gt\frac15$ en lugar de $\frac14$ y el resultado de convergencia absoluta de 3. se cumple para cada $x\lt\frac15$ en lugar de $\frac16$ . Por lo tanto, el radio de convergencia es $R=\frac15$ .

Answer 2

Sugerencia: si $$\limsup_{n\to\infty}\left(\frac{|a_n|}{5^n}\right)^{1/n}< 1$$ entonces la serie $\sum_1^\infty \frac{a_n}{5^n}$ convergerían absolutamente.