¿Por qué $1$ no es un subsitio denso en un grupo con la topología trivial de Grothendieck?

Question

Un amigo mío tenía la siguiente pregunta mientras leía la sección "C2.2 The topos of sheaves" en "Sketches of an Elephant".

Sea $G$ sea un grupo (considerado como una categoría con un objeto) con topología trivial (el único tamiz es todo $G$ ) obtenemos un sitio, lo denotamos por $G$ . Una subcategoría discreta $1 < G$ es denso según la definición 2.2.1. De hecho, (i) obviamente se cumple y (ii) se cumple porque para un morfismo dado $f$ cualquier morfismo $h$ factores a través de $g := f^{-1}$ . Entonces, por el Teorema 2.2.3, las categorías de las láminas sobre ellas son equivalentes, pero las categorías $\mathrm{Set}$ y $G\text{-}\mathrm{Set}$ no son equivalentes en general.

¿Dónde está el error? Probablemente sea sencillo (por ejemplo, entendemos mal las definiciones).

Answer 1

Sí, tu contraejemplo parece ser correcto - hay un error en Def C2.2.1 tal y como está impreso. Esta cuestión se menciona en el artículo de n-lab sobre subsitio denso ( revisión actual permalink ), en el que se señala un contraejemplo muy similar y se hace referencia a un documento más largo Hilo de nForum sobre el tema (principalmente por Dexter Chua, Thomas Holder y Mike Shulman).

Una solución fácil y limpia es restringir a completo subcategorías, como sugiere Zhen Lin en los comentarios. Pero Johnstone claramente pretende cubrir el caso no completo; justo después de Def C2.2.1 comenta:

En la práctica, el lema de comparación se utiliza más a menudo para subcategorías completas, y muchos textos sólo definen la densidad en este caso; sin embargo, la generalidad adicional que ofrece la definición que hemos dado es ocasionalmente útil; veremos un ejemplo de su uso en 5.2.5 más adelante.

El artículo de n-lab ofrece otra solución, modificando la condición (ii) para que diga "para cada $f : U \to V$ con $V \in \mathcal{D}$ hay algún tamiz de cobertura en $U$ cuyos elementos $g : W \to U$ todos satisfacen $fg \in \mathcal{D}$ ". Pero esta condición parece demasiado fuerte: casi nunca se cumplirá (como señala Dexter Chua en el hilo de nForum), ni siquiera en el caso completo. En particular, si no me equivoco, en general no se cumple en la aplicación del lema C5.2.5 de Johnston, que muestra que cualquier étendue (también conocido como topos localmente localicos, es decir, un topos para el que alguna porción bien soportada es localica) tiene un sitio de definición con todos los mapas mónicos.

Así que la versión impresa es errónea; pero ni la restricción a subcategorías completas, ni el arreglo de n-lab, parecen corresponder a la intención de Johnstone, o bastar para su aplicación en el Lemma C5.2.5. Estaría muy bien encontrar una solución mejor, lo suficientemente fuerte como para implicar el Lema de Comparación C2.2.3 pero lo suficientemente general para la aplicación del Lema C5.2.5. Edita: Respuesta de Simon Henry presenta lo que parece la solución correcta, del documento original de Kock-Moerdijk en el que se basa el C5.2.5 de Johnson.

Answer 2

Para complementar la responder de Peter, creo que el enunciado "correcto" del lema de comparación para subcategoría no plena (y de hecho incluso functor no fiel) se puede encontrar en un artículo de (A.)Kock y Moerdijk " Presentación de étendues ", donde se afirma -lamentablemente sin pruebas- al final de la sección 2.

No lo he vuelto a comprobar a la luz de la discusión anterior, pero recordaba haberlo probado hace unos años y estaba convencido de que era correcto. Aunque tal vez con todos estos problemas relacionados con este lema, podría ser el momento de escribir una prueba. En cualquier caso, esta versión del lema no tiene problemas con el ejemplo mencionado en la pregunta.

El lema de comparación en el papel se establece en términos de un functor entre dos sitio, por lo que se ve un poco diferente de lo que está en el elefante, pero creo que la modificación clave es que la condición (2) se altera de la siguiente manera: Ambos $U$ y $V$ se suponen $D$ y los generadores del tamiz de cobertura de $U$ (de forma que el compuesto con $U \to V$ están en $D$ ) también tienen que ser ellos mismos en $D$ .

El lema de comparación de Kock y Moerdijk tiene un supuesto final de "co-continuidad" que puede parecer un poco extraño - pero si no me equivoco puede deducirse (asumiendo todas las demás condiciones) del supuesto más natural de que un Tamiz en el dominio es una cubierta si y sólo si su imagen por el functor es una cubierta - es decir, el functor $u$ no es sólo "preservar la cobertura", como exige la condición (1), sino también "detectar la cobertura".

Finalmente, como sugiere el título del trabajo, la principal motivación de este trabajo es exactamente demostrar ese "Lemma C.5.2.5" sobre étendus al que Peter se refiere en su respuesta, que hasta donde yo sé es el único uso del lema de comparación a una subcategoría no completa que se puede encontrar en el Elephant.