El título lo dice todo. Me pregunto si el anillo de la serie de energía $\mathbb{Q}[[X]]$ (con coeficientes racionales) se incrusta como anillo en el campo de los números reales. Hay varias topologías que uno podría considerar aquí, pero tengo curiosidad por saber si hay una incrustación algebraica.
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sickgemini
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2001
$\def\QQ{\mathbb{Q}}\def\RR{\mathbb{R}}$ La respuesta es no.
Lema Sea $f(x) \in \QQ[[x]]$ con $f(0) =c^2$ para algún racional distinto de cero $c$ . Entonces $f(x)$ es un cuadrado en $\QQ[[x]]$ .
Prueba Utilice la serie de Taylor para $\sqrt{c^2+u}$ acerca de $u=0$ . $\square$
Por lo tanto, si $\phi : \QQ[[x]] \to \RR$ es un homomorfismo de anillo, entonces $\phi(1/n^2 + x) = 1/n^2 + \phi(x)$ debe ser un cuadrado para cada entero positivo $n$ y así $1/n^2 + \phi(x) \geq 0$ para cada número entero positivo $n$ .
Del mismo modo, $\phi(1/n^2 - x) = 1/n^2 - \phi(x) \geq 0$ para cada número entero positivo $n$ .
Así que $-1/n^2 \leq \phi(x) \leq 1/n^2$ y concluimos que $\phi(x)=0$ Así que $\phi$ no puede ser una incrustación.
Vetle
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Algunos comentarios sobre la muy agradable responder que podría proporcionar un contexto útil. Si $D$ es un subring de $\mathbb{R}$ entonces debe ser un dominio integral y su campo de fracciones $\operatorname{Frac}(D)$ también debe integrarse en $\mathbb{R}$ por lo que debe ser un campo ordenado. Como campo ordenado debe ser Arquímedes en el sentido de que no tiene infinitesimales (elementos $\varepsilon$ satisfaciendo $0 < \varepsilon < \frac{1}{n}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ ) ya que $\mathbb{R}$ es arquimediana. Así que podemos descartar la posibilidad de un dominio integral $D$ admite una incrustación en $\mathbb{R}$ si podemos demostrar que cualquier ordenación sobre $D$ contiene un infinitésimo. (Por supuesto, muchos dominios integrales no admiten ninguna ordenación, lo que sería un argumento más fácil, pero éste sí. La palabra clave relevante aquí es " formalmente real ".)
Esto es lo que hace el argumento de David: la clave es que los cuadrados son siempre no negativos, y a partir de ahí David demuestra que esto implica que $x \in \mathbb{Q}[[x]]$ es siempre infinitesimal, lo cual es muy intuitivo. Un ejemplo de ordenación es la ordenación lex en la que un elemento positivo es un elemento cuyo primer coeficiente distinto de cero es positivo; para las series de potencias convergentes, esto corresponde a la ordenación en la que un elemento positivo es un elemento que es positivo en una vecindad suficientemente pequeña del origen, que es una ordenación que tiene sentido de forma más general para los gérmenes de funciones continuas de valor real.
La pregunta correspondiente para las incrustaciones en $\mathbb{C}$ es mucho más fácil: aquí podemos apelar al hecho de que los campos algebraicamente cerrados incontables de característica $0$ se clasifican hasta el isomorfismo por su cardinalidad. A partir de aquí basta con comprobar que $\mathbb{Q}[[x]]$ es lo suficientemente pequeño como para que el cierre algebraico de su campo de fracciones sea como máximo tan grande como $\mathbb{C}$ lo cual es cierto, y entonces se sigue la conclusión. Si intentáramos imitar este argumento para $\mathbb{R}$ nos llevaría a construir el cierre real del campo de fracciones de $\mathbb{Q}[[x]]$ (que creo que es Serie Puiseux con coeficientes algebraicos reales) pero desgraciadamente los campos cerrados reales no gozan de la misma propiedad de ser clasificados por su cardinalidad, y la presencia o ausencia de infinitesimales (y torres de infinitesimales, por ejemplo, podemos tener elementos que son infinitesimalmente pequeños con respecto a otros infinitesimales) es una forma de ver esto. Esto se ha discutido anteriormente en MO, en ¿Existen tantos campos reales cerrados de una cardinalidad dada como yo creo? .
Esto sugiere una interesante pregunta de seguimiento:
En $\mathbb{C}$ demuestra que los subrings de $\mathbb{C}$ son exactamente los dominios integrales de característica $0$ con cardinalidad como máximo el continuo. ¿Existe una caracterización similar de los subrings de $\mathbb{R}$ ? Deben ser dominios integrales que admitan un orden arquimediano con cardinalidad como máximo el continuo; ¿es esto suficiente?
