La verdad es que ya llevo un rato dándole vueltas a este tema, desde que apareció en el 2022 Prueba clasificatoria de Mathcamp .
Una de las cosas útiles a tener en cuenta aquí es que la suma de dígitos de $n^2$ en base $b$ es congruente con $n^2$ modulo $b-1$ . (Ser un cuadrado perfecto no es nada especial aquí.) En base $10$ lo que conocemos como la regla de divisibilidad por $9$ pero se generaliza a todas las bases. Así, si la suma de dígitos de $n^2$ en base $b$ es igual a $n$ entonces tenemos $$n^2 \equiv n \pmod {b-1}.$$
En general, no se trata de una condición "si y sólo si". Se convierte en una en un caso especial:
Lema. Si $n<b$ y $n^2 \equiv n \pmod{b-1}$ entonces la suma de los dígitos de $n^2$ es $n$ .
Prueba. En este caso, $n^2 < b^2$ Así que $n^2$ es un número de dos cifras en base $b$ . La suma de los dígitos de $n^2$ en ese caso es como máximo $2(b-1)$ , y es congruente con $n$ modulo $b-1$ . Por lo tanto, sólo hay dos cosas que la suma de dígitos de $n^2$ puede ser: $n$ o $n+b-1$ . Ahora debemos descartar $n+b-1$ .
La suma de dígitos de $n^2$ en el caso de dos dígitos es $n^2 - (b-1)\lfloor \frac{n^2}{b}\rfloor \le n^2 - (b-1) \cdot \frac{n^2-b-1}{b} = \frac{n^2 + (b-1)^2}{b}.$ Así que para que la suma de dígitos sea $n+b-1$ necesitaríamos $n+b-1 \le \frac{n^2 + (b-1)^2}{b}$ que se simplifica en $nb \le n^2-b$ . Sin embargo, de hecho, $nb > n^2$ porque $n < b$ por suposición. Por lo tanto, la suma de dígitos sólo puede ser $n$ . $\square$
Esto explica que dispongamos de una rica colección de soluciones cuando $b = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$ para primos $p_1, p_2, \dots, p_k$ . En tal caso, tenemos $2^k$ soluciones $n^2$ con $n<b$ debido al lema anterior.
Para encontrarlos, tenga en cuenta que $n^2\equiv n \pmod {p_i}$ tiene dos soluciones: $n \equiv 0 \pmod{p_i}$ o $n \equiv 1 \pmod{p_i}$ . Existen $2^k$ formas de combinar estas opciones para $i=1, 2,\dots, k$ y entonces podemos combinarlos en una solución modulo $b-1 = p_1 p_2 \cdots p_k$ por el teorema chino del resto. (Dos de ellos son $n=0$ y $n=1$ que, sin embargo, podemos decidir ignorar, $n=0$ también nos da $n=b-1$ que siempre es una solución).
Es probable que también obtengamos otras soluciones. Por ejemplo, cuando $b=7 = 2\cdot 3+1$ obtenemos las soluciones $1^2, 3^2, 4^2, 6^2$ de esta manera: los dígitos de $1^2=1=1_7$ , $3^2=3=12_7$ , $4^4=16=22_7$ y $6^2=36=51_7$ suma a $1, 3, 4, 6$ respectivamente. También hay dos soluciones más, $9^2$ y $12^2$ que aparecen por otros motivos.
Sin embargo, las otras soluciones no pueden ser demasiado frecuentes. En general, la suma de dígitos de $n^2$ es como máximo $(b-1)(1 + \log_b n^2)$ que finalmente se garantiza que es menor que $n$ . Trabajando un poco con esta desigualdad, podemos deducir: primero, que para grandes $b$ , $n^2$ tiene como máximo tres bases- $b$ dígitos; en segundo lugar, que para $b$ , $n < 2b$ . (Existen límites mejores.) Además. todavía tienen que satisfacer $n^2 \equiv n \pmod{b-1}$ para $n\ge b$ aunque ya no sea una condición suficiente. Así que, aunque hay al menos $2^k$ soluciones, hay menos de $2^{k+1}$ y probablemente muchos menos.
En general $b$ vemos el mismo patrón, con $k$ sustituido por el número de factores primos distintos de $b-1$ . (En el teorema chino del resto, llegamos al factor $b-1$ en potencias primos distintos, y luego mezclar y combinar soluciones para $n^2 \equiv n$ módulo de cada potencia prima). Dado que $b = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$ es la base más pequeña para la que $b-1$ tiene $k$ factores primos distintos, es la base más pequeña para la que podemos esperar obtener $2^k$ soluciones, por lo que es un récord.
