Patrones sorprendentes en números cuya suma de dígitos es igual a su raíz cuadrada en una base arbitraria.

Question

En base 10, $\sqrt{81} = 8 + 1 = 9$ . Resulta que 81 es el único número de base 10 que tiene esta propiedad. Quería averiguar si hay otros números con esta propiedad en otras bases. Matemáticamente, para una base dada $b$ Estoy buscando números $n$ con dígitos $d_i$ en base $b$ tal que

$$\sqrt{\sum^{\infty}_{i=0} d_i\cdot b^i} = \sum^{\infty}_{i=0} d_i$$

Escribí esto código para forzar las soluciones en cualquier base. También he subido el conjunto de soluciones para las primeras 5000 bases h . Aquí no considero que 0 y 1 sean soluciones

El patrón surge cuando intento [trazar el número de soluciones para 1 millón de bases (el trazado sólo incluye como máximo 5000 puntos de datos de cada tira $[2^n, 2^{n+1}]$ ):

Hay claras lagunas en los datos que parecen correlacionarse aproximadamente con potencias de 2? Además, la base más pequeña de cada "franja" son las bases 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, que son Números de Euclides Estas bases tienen 5, 10, 21, 48, 96 y 196 soluciones respectivamente. He comprobado que la base 9699691 tiene 397 soluciones y la base 223092871 tiene 784 soluciones. He aquí las datos en formato numpy.array

No sé muy bien qué pensar de esto. Por un lado, el patrón similar al de las potencias de dos me hace sospechar que podría deberse a un error de precisión en coma flotante o a un error en el código. Por otro lado, la forma en que se presentan las potencias de dos parece atípica para un error de cálculo.

Mi pregunta es si realmente existe este patrón, y si es así agradecería cualquier idea de por qué surge tal patrón de este problema.

Editar: También parece que $(b-1)^2$ es siempre una solución, como se ha demostrado en los comentarios.

Edita 2: He trazado las soluciones $\sqrt{n}$ contra la base $b$ y parece que hay rayos con pendientes variables:

Answer 1

La verdad es que ya llevo un rato dándole vueltas a este tema, desde que apareció en el 2022 Prueba clasificatoria de Mathcamp .

Una de las cosas útiles a tener en cuenta aquí es que la suma de dígitos de $n^2$ en base $b$ es congruente con $n^2$ modulo $b-1$ . (Ser un cuadrado perfecto no es nada especial aquí.) En base $10$ lo que conocemos como la regla de divisibilidad por $9$ pero se generaliza a todas las bases. Así, si la suma de dígitos de $n^2$ en base $b$ es igual a $n$ entonces tenemos $$n^2 \equiv n \pmod {b-1}.$$

En general, no se trata de una condición "si y sólo si". Se convierte en una en un caso especial:

Lema. Si $n<b$ y $n^2 \equiv n \pmod{b-1}$ entonces la suma de los dígitos de $n^2$ es $n$ .

Prueba. En este caso, $n^2 < b^2$ Así que $n^2$ es un número de dos cifras en base $b$ . La suma de los dígitos de $n^2$ en ese caso es como máximo $2(b-1)$ , y es congruente con $n$ modulo $b-1$ . Por lo tanto, sólo hay dos cosas que la suma de dígitos de $n^2$ puede ser: $n$ o $n+b-1$ . Ahora debemos descartar $n+b-1$ .

La suma de dígitos de $n^2$ en el caso de dos dígitos es $n^2 - (b-1)\lfloor \frac{n^2}{b}\rfloor \le n^2 - (b-1) \cdot \frac{n^2-b-1}{b} = \frac{n^2 + (b-1)^2}{b}.$ Así que para que la suma de dígitos sea $n+b-1$ necesitaríamos $n+b-1 \le \frac{n^2 + (b-1)^2}{b}$ que se simplifica en $nb \le n^2-b$ . Sin embargo, de hecho, $nb > n^2$ porque $n < b$ por suposición. Por lo tanto, la suma de dígitos sólo puede ser $n$ . $\square$

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Esto explica que dispongamos de una rica colección de soluciones cuando $b = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$ para primos $p_1, p_2, \dots, p_k$ . En tal caso, tenemos $2^k$ soluciones $n^2$ con $n<b$ debido al lema anterior.

Para encontrarlos, tenga en cuenta que $n^2\equiv n \pmod {p_i}$ tiene dos soluciones: $n \equiv 0 \pmod{p_i}$ o $n \equiv 1 \pmod{p_i}$ . Existen $2^k$ formas de combinar estas opciones para $i=1, 2,\dots, k$ y entonces podemos combinarlos en una solución modulo $b-1 = p_1 p_2 \cdots p_k$ por el teorema chino del resto. (Dos de ellos son $n=0$ y $n=1$ que, sin embargo, podemos decidir ignorar, $n=0$ también nos da $n=b-1$ que siempre es una solución).

Es probable que también obtengamos otras soluciones. Por ejemplo, cuando $b=7 = 2\cdot 3+1$ obtenemos las soluciones $1^2, 3^2, 4^2, 6^2$ de esta manera: los dígitos de $1^2=1=1_7$ , $3^2=3=12_7$ , $4^4=16=22_7$ y $6^2=36=51_7$ suma a $1, 3, 4, 6$ respectivamente. También hay dos soluciones más, $9^2$ y $12^2$ que aparecen por otros motivos.

Sin embargo, las otras soluciones no pueden ser demasiado frecuentes. En general, la suma de dígitos de $n^2$ es como máximo $(b-1)(1 + \log_b n^2)$ que finalmente se garantiza que es menor que $n$ . Trabajando un poco con esta desigualdad, podemos deducir: primero, que para grandes $b$ , $n^2$ tiene como máximo tres bases- $b$ dígitos; en segundo lugar, que para $b$ , $n < 2b$ . (Existen límites mejores.) Además. todavía tienen que satisfacer $n^2 \equiv n \pmod{b-1}$ para $n\ge b$ aunque ya no sea una condición suficiente. Así que, aunque hay al menos $2^k$ soluciones, hay menos de $2^{k+1}$ y probablemente muchos menos.

En general $b$ vemos el mismo patrón, con $k$ sustituido por el número de factores primos distintos de $b-1$ . (En el teorema chino del resto, llegamos al factor $b-1$ en potencias primos distintos, y luego mezclar y combinar soluciones para $n^2 \equiv n$ módulo de cada potencia prima). Dado que $b = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$ es la base más pequeña para la que $b-1$ tiene $k$ factores primos distintos, es la base más pequeña para la que podemos esperar obtener $2^k$ soluciones, por lo que es un récord.