Deje $a_{0}=a>0,a_{1}=b>0$, y tal que $$a_{n+1}a_{n-1}=\max\{(a_{n},1)\},\forall n\in N^{+}$$ mostrar que $$a_{n+5}=a_{n}$$
Incluso $a,b$ con la incertidumbre de 1, por lo que no podemos hacer $$a_{2}=\dfrac{\max{(a_{1},1})}{a_{0}}=\begin{cases}\dfrac{a_{1}}{a_{0}}&a_{1}\ge 1\\ \dfrac{1}{a_{0}},&a_{1}<1 \end{cases}$$, Pero esta secuencia siempre tiene un período de $5$. parece muy interesante. Siguiendo, cuando determino $a_{3}$, no puedo hacerlo. Muchas gracias por cualquier sugerencia.
Sé que frankooo ya ha publicado una respuesta, pero comencé mi publicación antes y quiero pasar por todo el proceso de resolver un caso (como la respuesta de frankooo no muestra una prueba completa). ¡Espero que esto ayude a formular las pruebas restantes! Comencemos asumiendo $a_1 \geq a_0 \geq 1$. Luego lo enchufamos en la definición $$a_n = \frac{\max(a_{n-1},1)}{a_{n-2}}\qquad$$ Para obtener $$a_2 = \frac{\max(a_1,1)}{a_0} = \frac{a_1}{a_0}$$ Dado que $a_1\geq a_0$ la cantidad $a_2 \geq 1$ y $a_2 \geq a_1$ $$a_3 = \frac{\max(a_2,1)}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{a_0}$$ Note que obtenemos la última igualdad anterior sustituyendo en la definición de $a_2$. Dado que asumimos $a_0 \geq 1$ tenemos que $a_3 \leq 1$ $$a_4 = \frac{\max(a_3,1)}{a_2} = \frac{1}{a_2} = \frac{a_0}{a_1}$$ Note que dado que $a_1 \geq a_0$ la cantidad $a_4 \leq 1$ $$a_5 = \frac{\max(a_4,1)}{a_3} = \frac{1}{a_3} = a_0$$ Finalmente, dado que $a_0 \geq 1$ obtenemos $$a_6 = \frac{\max(a_5,1)}{a_4} = \frac{a_5}{a_4} = \frac{a_0}{a_4} = a_1$$ Desde esto podemos ver que el ciclo continuaría con el comportamiento cíclico deseado. ¡Para preservar mi cordura dejaré el resto de las pruebas a usted!
Nota: puede haber una forma más rápida de demostrar esto, pero no he hecho ninguna teoría de números antes de esto... Lo hice a medida que avanzaba usando el comentario de Avika para revisar mis respuestas
Haz 5 casos diferentes,
$b\geq a\geq 1$
$b\geq 1> a$
$a\geq b \geq1$
$b<1,a<1$
$b<1, a\geq 1$
Caso 1. $a_2=b/a, a_3=1/a, a_4=a/b, a_5=a, a_6=b, ...
Caso 2. $a_2=b/a, a_3=1/a, a_4=1/b, a_5=a, a_6=b, ...
Caso 3. $a_2=b/a, a_3=1/b, a_4=a/b, a_5=a, a_6=b, ...
Caso 4. $a_2=1/a, a_3=1/ab, a_4=1/b, a_5=a, a_6=b, ...
Caso 5. $a_2=1/a, a_3=1/b, a_4=a/b, a_5=a, a_6=b, ...
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¿Qué has intentado? Yo empezaría por hacer una hoja de cálculo y validar la afirmación para varios pares $a_0, a_1$, asegurándome de incluir todas las cuatro posibilidades comparándolas con $1$. He hecho esto y ha pasado. Luego, pensaría en cómo el patrón de qué opción eliges en el máximo depende de los valores iniciales, lo cual no he hecho.
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No es elegante, pero ¿por qué no haces los cuatro casos: a y b mayores o menores que 1?
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Hmmm... no he mirado esto durante más de un minuto, pero ¿ayudaría si esto se pudiera escribir como $$a_{n+1}a_{n-1}=\frac{a_n+1 + \sqrt{(a_n-1)^2}}{2}$$ Solo una idea, podría estar totalmente equivocado :/
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Aquí tienes un ejemplo de secuencia: $2,3,\dfrac32,\dfrac12,\dfrac23,2,3, \dfrac32, \dfrac12,\dfrac23,\dotsb$.
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Habiendo resuelto esto, me pregunto por $a_{n+1} a_n = \max(a_{n-1},1)$ y los productos generales $$a_{n-1}\prod_{k=1}^l a_{n+k} = \max(a_n,1)\quad \prod_{k=0}^{\infty} a_{n+k} = \max(a_{n-1},1)$$