El valor principal de Cauchy de una función racional con sólo polos reales

Question

$\newcommand{\PV}{\operatorname{P.V.}}$ Tengo una duda sobre el Valor Principal de Cauchy de funciones racionales reales.

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función racional con $\deg(\text{denominator})>\deg(\text{numerator})$ .

$\{x_1,x_2,\ldots,x_n \} \subset \mathbb{R} $ es el conjunto de todos los $f$ postes

$\PV$ existe y es

$$\PV \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \ dx=\pi i \left( \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f,x_k) \right) $$

$$\pi i \left( \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f,x_k) \right) \in \mathbb{I}$$

Así que..: $$\PV \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \ dx=0$$ porque: $$\operatorname{Re} \left( \pi i \left( \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f,x_k) \right) \right)=0$$

¿Es cierto?

$\PV \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \ dx$ no existe si $\deg(\text{numerator}) \ge \deg(\text{denominator})$ ¿verdad?

En general, ¿cuáles son las condiciones de existencia de P V?

¿Es correcto?

Gracias

Answer 1

Daniel Fischer ya señala en los comentarios que alguna condición debe ser impuesta a $f$ para garantizar la existencia del valor principal. Por ejemplo, $\int_{-\infty}^\infty dx/x^2 = \infty$ valor principal o no: el integrando es positivo, por lo que no hay cancelación cuando eliminamos pequeñas vecindades simétricas del polo en $x=0$ .

Supongamos que los polos de $f$ son simples. Entonces el argumento de que OP Francesco Serie dio es esencialmente correcto, aunque hay que incluir el polo en el infinito si la diferencia entre el grado del denominador y del numerador es sólo $1$ (porque el diferencial $f(x)\,dx$ entonces tiene un polo simple en el infinito). En efecto, se sabe que para cualquier función racional $f \in {\bf C}(x)$ la suma de los residuos de $f(x)\,dx$ en todos sus polos de la esfera de Riemann desaparece.

Un argumento más sencillo es ampliar $f$ en fracciones parciales. Bajo nuestra hipótesis, $f$ es un $\bf R$ -combinación lineal de las funciones $1/(x-x_k)$ la integral de valor principal es un mapa lineal a $\bf R$ , y es elemental que el valor principal de cada $\int_{-\infty}^\infty dx/(x-x_k)$ es cero, por lo que lo mismo ocurre con $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ .

Esto también sugiere la generalización a funciones que puedan tener múltiples raíces: la integral de valor principal existe si $f$ es una combinación lineal de funciones $1/(x-x_k)^{e_k}$ con cada $e_k$ impar, y entonces la integral P.V. vuelve a ser igual a cero.