Sobre la ecuación $\zeta(s) = F(s)+F(s+1)$

Question

Definir la función $F(s)$ como la serie de Dirichlet $$ F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)n^{s-1}}, $$ que converge para $\operatorname{Re}(s)>1$ .

¿Alguien ha visto/estudiado antes esta función? Tiene la propiedad de que $$\zeta(s) = F(s)+F(s+1), \label{1} \tag{1} $$ donde $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann. Esto es trivial de comprobar: $$ F(s)+F(s+1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)n^s} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)n^s} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n+1} \cdot \frac{1}{n^s} = \zeta(s). $$ También tiene otras propiedades que lo hacen interesante. Empezaré dando algunas motivaciones y luego describiré las propiedades que he observado, y plantearé algunas preguntas relacionadas.

Motivación para estudiar $F(s)$ :

1. Si denotamos $G(s) = F(2s)$ un cambio de coordenadas trivial, entonces \eqref {1} se convierte en $\zeta(s)=G(s/2)+G((s+1)/2)$ . Esto puede interpretarse como la afirmación de que $\zeta(s)$ es la imagen de $G(s)$ bajo el operador lineal $T$ que envía una función analítica $g(s)$ a la función $T(g):=g\left(\frac{s}{2}\right) + g\left(\frac{s+1}{2}\right)$ .

   Este operador lineal tiene algunas propiedades muy interesantes. En particular, es "preservador de la hipótesis de Riemann", en el siguiente sentido: si $g(s)$ es un polinomio complejo con todos sus ceros en la recta $\operatorname{Re}(s)=1/2$ entonces $T(f)$ también es un polinomio de este tipo. (Esto es una reformulación, mediante un simple cambio de coordenadas, de la afirmación de que el operador que mapea un polinomio $h(z)$ a $h(z-i/4)+h(z+i/4)$ es "preservador de la hiperbolicidad", es decir, envía polinomios con sólo ceros reales a polinomios con sólo ceros reales (un caso especial de un resultado más general que creo que se debe a Polya).

   Esta propiedad de hiperbolicidad/preservación de RH también se extiende a ciertas funciones enteras de género 0 ó 1 (normalmente se supone que satisfacen la ecuación funcional $f(1-s)=f(s)$ ). Véase la sección 10.23 del libro de Titschmarsh "The Theory of the Riemann Zeta Function", 2ª ed. Esto se utilizó en algunos de los ataques fallidos (aunque todavía muy interesantes) de Polya a la hipótesis de Riemann. Lo he visto utilizado en algunos otros lugares, por ejemplo en el artículo " La hipótesis de Riemann para ciertas integrales de series de Eisenstein "de Lagarias y Suzuki.

   Ahora, $\zeta(s)$ no es una función entera, y no satisface exactamente $\zeta(1-s)=\zeta(s)$ por lo que la relevancia de estas propiedades del operador lineal $T$ a preguntas de tipo RH no está del todo claro. Pero la ecuación $\zeta(s)=F(s)+F(s+1)$ sigue sugiriendo la posibilidad de que estudiando $F(s)$ y sus ceros podríamos aprender algo sobre $\zeta(s)$ y sus ceros, utilizando este tipo de ideas al estilo de Polya.

2. El mismo operador lineal $T$ (o mejor dicho, $\frac{1}{2}T$ ) es también el operador de transferencia para el mapa de duplicación $x\mapsto 2x \bmod 1$ de la teoría ergódica.

3. Los polinomios de Bernoulli $B_n(x)$ (que a su vez están relacionados con $\zeta(s)$ de todas las maneras posibles) son las funciones propias de este operador de transferencia, que satisfacen la ecuación $$ T [B_n] = \frac{1}{2^{n-1}} B_n, $$ y también tienen la simetría $B_n(1-x)=B_n(x)$ .

Propiedades de $F(s)$ :

He observado los siguientes hechos sobre $F(s)$ :

1. Reescribiendo \eqref {1} como $F(s) = \zeta(s) - F(s+1)$ se ve que esto da una forma de continuar analíticamente $F(s)$ a la región $\operatorname{Re}(s)>0$ y por inducción a la región $\operatorname{Re}(s)>-1$ , $\operatorname{Re}(s)>-2$ etc., utilizando las fórmulas \begin{align*} F(s) &= \zeta(s) - F(s+1) \\ &= \zeta(s) - \zeta(s+1) + F(s+2) \\ &= \zeta(s) - \zeta(s+1) + \zeta(s+2) - F(s+3) = \ldots \\ &= \zeta(s) - \zeta(s+1) + \zeta(s+2) - \zeta(s+3) + \ldots + (-1)^k \zeta(s+k) + (-1)^{k+1} F(s+k+1) \end{align*} Esto demuestra que $F(s)$ puede continuarse analíticamente hasta una función meromórfica en $\mathbb{C}$ con polos en $s=1, 0, -1, -2, \ldots$ . El poste de $s=n$ para números enteros $n\le 1$ es un polo simple con residuo $(-1)^{n-1}$ .

2. $F(s)$ tiene los valores especiales \begin{align*} F(2) &= 1, \\ F(3) &= -1 + \zeta(2), \\ F(4) &= 1 - \zeta(2) + \zeta(3), \\ &\ \ \vdots \\ F(n) &= (-1)^n + \sum_{k=2}^{n-1} (-1)^{n+k+1} \zeta(k). \end{align*} (Prueba: la evaluación de $F(2)$ es una serie telescópica trivial, y las demás se deducen de ella por inducción utilizando \eqref {1}.)

3. $F(s)$ no tiene ceros en la región $\operatorname{Re}(s)>2$ .

   Prueba: si $\operatorname{Re}(s)>2$ entonces se comprueba fácilmente que el primer término $\frac{1}{2}$ en la serie que define $F(s)$ domina la suma de los términos restantes.

4. Numéricamente usando Mathematica encontré algunos ceros de $F(s)$ en estos puntos: \begin{align*} Z_1 &\approx 0.901294 + 14.11648 i, \\ Z_2 & \approx 0.85788022 + 21.0356764 i, \\ Z_3 & \approx 0.8389893 + 24.982853 i, \\ Z_4 & \approx 0.821207 + 30.4765 i, \\ Z_5 & \approx 0.812678 + 32.8777 i, \\ Z_6 & \approx 0.0987755 + 1.27788 i, \\ Z_7 & \approx -1.47031 + 1.65906 i. \end{align*}

5. La ecuación funcional para $\zeta(s)$ puede reformularse en términos de una función auxiliar relacionada con $F(s)$ . Más concretamente, defina \begin{align*} q(s) &= \pi^{-s/2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right), \\ H(s) &= q(s) F(s) - q(1-s) F(2-s). \end{align*} Entonces $H(s)$ es una función meromórfica. Con esta notación, la ecuación funcional para $\zeta(s)$ $$q(s)\zeta(s) = q(1-s)\zeta(1-s), \label{2} \tag{2}$$ puede reescribirse como $$ q(s) F(s) + q(s) F(s+1) = q(1-s) F(1-s) + q(1-s) F(2-s), $$ o, reordenando términos, $$ q(s) F(s) - q(1-s) F(2-s) = q(1-s) F(1-s) - q(s) F(s+1), $$ Se trata simplemente de la afirmación de que $$ H(1-s) = H(s). \label{3} \tag{3} $$ Así que vemos que \eqref {2} y \eqref {3} son equivalentes.

6. $F(s)$ tiene la representación por transformada de Mellin $$ F(s) = \frac{1}{\Gamma(s-1)} \int_0^{\infty} \left(- e^x \log(1-e^{-x}) - 1\right) x^{s-2} dx \qquad (\operatorname{Re}(s)>2). $$ (Prueba: expandir el integrando en una serie en potencias de $e^{-x}$ e integrar término a término).

Mis preguntas

1. Tiene alguna de las funciones $F(s)$ o $H(s)$ ¿se ha estudiado antes?

2. ¿Puede alguien ver una manera de derivar la ecuación funcional $H(1-s)=H(s)$ directamente, sin pasar por la ecuación funcional de $\zeta(s)$ ? (Esto daría una nueva prueba para la ecuación funcional de $\zeta(s)$ .)

3. Hacer las funciones $F(s)$ y $H(s)$ ¿tiene algún significado? ¿Pueden utilizarse para demostrar algo interesante sobre $\zeta(s)$ ¿o sobre cualquier cantidad de la teoría de números? ¿Surgen en algún contexto natural?

4. ¿Qué se puede decir sobre la localización de los ceros de las funciones $F(s)$ y $H(s)$ ? ¿Tiene alguna importancia para algo la ubicación de los ceros?

5. ¿Alguien puede ver otras propiedades interesantes que $F(s)$ y $H(s)$ ¿satisfacer?

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino una rápida observación sobre una posible demostración directa de la ecuación funcional para $F$ .

Recordemos en primer lugar la identidad $$\int_0^{\infty} x^{({s-3})/2}\exp(-n^2\pi x)\,dx=\pi^{-(s-1)/2}\ \Gamma\left(\frac{s-1}{2}\right) n^ {-(s-1)}\,\mathrm{for}\, \Re(s)>2.$$ Multiplicando ambos lados por $1/(n+1)$ y sumando para $n$ obtenemos $$\int_0^{\infty} x^{({s-3})/2}Q(x)\,dx\ =\pi^{-(s-1)/2}\ \Gamma\left(\frac{s-1}{2}\right)F(s),$$ donde $Q(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\exp(-n^2\pi x)}{n+1}$ .

Ahora la prueba de la ecuación funcional para $\zeta$ se basa en el hecho de que la función $\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty{\exp(-n^2\pi x)}$ satisface $$2\psi(x)+1={\frac{1}{x^{1/2}}}\left[2\psi\left(\frac{1}{x}\right)+1\right].$$ Así que tal vez hay alguna propiedad similar para $Q$ que conducen a una ecuación funcional para $F$ .

Sobre los ceros, ya que $\zeta$ tiene infinitos ceros en la recta $\Re(s)=1/2$ lo obvio es que si su ecuación es válida para $\Re(s)>0$ entonces $F$ debe tener infinitos ceros en las líneas $\Re(s)=3/2$ y $\Re(s)=1/2$

Por lo tanto, si $\rho$ es un cero de $\zeta$ entonces $\rho$ , $1-\rho$ , $2-\rho$ y $1+\rho$ también son ceros de $F$ .