¿Existen infinitos primos de la forma [X]? Probablemente no lo sabemos.

Question

¿Existen infinitos primos de la forma ¿[expresión]?

(Probablemente no lo sepamos. Lo sentimos.)

Esta pregunta aparece muy a menudo, con expresiones muy variadas. La triste realidad es que la respuesta, con toda probabilidad, es que no lo sabemos. Lo que no sobre los números primos supera con creces lo que sabemos. También son frecuentes las preguntas relacionadas con los espacios entre primos. Por ejemplo:

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• Preguntas frecuentes sin respuesta en M.SE
  • ¿Existen infinitos primos de la forma $n^2+1$ ? O cualquier otro polinomio de orden 2 o superior. Nosotros piense en probablemente los haya, pero no está probado y será difícil demostrarlo.
  • ¿Existen infinitos primos de la forma $2^k + a$ ? O cualquier otra expresión exponencial.
  • ¿Existen infinitos huecos primos de la forma [ expresión ]?
  • ¿Tiene [ esta fórmula generar todos los números primos? (Aunque a menudo es "No".)

Nota : Hay otras preguntas que preguntan "¿Qué sabemos sobre los primos de la forma [ expresión ]?" Es una pregunta muy diferente, y puede generar un buen debate. También son más raras.

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Me pareció que nos vendría bien un artículo que se pudiera señalar, editar, referenciar y similares, para preguntas de este tipo. Espero que a la comunidad le resulte útil.

En esta entrada se organizan algunas respuestas -tanto positivas como negativas- a la pregunta para varias expresiones, y se proporcionan enlaces informativos y pruebas cuando se dispone de ellas. Por favor, añade más información si crees que es útil. Tenga en cuenta que las preguntas y respuestas aquí no están destinados a tratar con los términos de error, límites de tamiz, asintótica, etc. Sólo queremos que sea sencillo. Incluso el Teorema de los Números Primos está fuera del alcance aquí.

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Terminología utilizada a continuación:

• La función gap, $g(p)$ es la diferencia entre dos números primos consecutivos. Es decir, $g(p_i) = p_{i+1} - p_i$ .
• La función de recuento de primos, $\pi(x)$ cuenta el número de primos iguales o menores que $x$ .
• "ATIM "Son infinitamente muchos"

Answer 1

Teoremas sobre los números primos: Cosas que Conozca

Un teorema es un enunciado matemático demostrado. Estos enunciados son verdaderos y su verdad es aceptada por la comunidad matemática en general.

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Formas de números primos

Teoremas o resultados que demuestran la infinitud de los primos de ciertas formas.

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• _Teorema de Euclides_

  Hay infinitos números primos. Este es el resultado probado más básico e importante. A veces se conoce como segundo teorema.

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• Lemmata sobre la falta de primos ALIAS "Nada que ver aquí, muévanse"

  Ejemplos de expresiones que se sabe que no generan ningún primo o casi ningún primo.

  Existen casi no primos de la forma $n^2-1$ o $n^3-1$ o cualquier otro polinomio factorable. Si se puede factorizar como un polinomio, se puede factorizar como un número entero. Cuando do producen primos, es porque $n$ es muy pequeño. Por ejemplo, $n^2-1 = (n+1)(n-1)$ y $n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1)$ . Estas expresiones producen primos para $n=2$ porque uno de los factores es $1$ .

  Existen casi no primos de la forma $n^2+n+2$ o $n^3-n^2+8$ o cualquier otra expresión que sea siempre uniforme . Pueden ser difíciles de detectar, pero recuerde que las paridades de $n, n^2, \cdots, n^k$ son todos iguales: son todos pares, o todos impar. Dado que dos números Impares y dos números pares suman un número par, ambas expresiones deben producir números pares.

  Existen casi no tuplas de primos de la forma $(n, n+2, n+4)$ o $(n, n+4, n+8)$ o cualquier otra tupla que deba incluir un múltiplo de $3$ o $5$ o algún otro divisor. La única excepción, sólo válida para el primer ejemplo, es $(3,5,7)$ .

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• _Teorema de Dirichlet [Primos en progresión aritmética]_

  Si $a$ y $d$ son enteros coprimos positivos, hay infinitos primos en la progresión aritmética $an+d$ donde $n$ es un número entero positivo.

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• _Teorema de la suma de dos cuadrados [Fermat]_

  Un número entero de la forma $p = 4k+1$ es primo sólo si puede expresarse como $p = a^2 + b^2$ . Como nos dice el teorema de Dirichlet hay infinitos primos de la forma $4k+1$ se deduce que hay infinitos primos de la forma $a^2+b^2$ . A veces se denominan Primas pitagóricas ya que cada uno es el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo primitivo.

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• _Teorema de Friedlander-Iwaniec_

  Hay infinitos primos de la forma $a^2+b^4$ .

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Vacíos principales

Teoremas o resultados sobre las distancias entre números primos, especialmente números primos consecutivos.

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• Lemma [¿Nombre?]

  La función de brecha crece de forma arbitraria. O dicho de otro modo: para cualquier número entero, existe un espacio entre números primos consecutivos al menos tan grande como ese número entero.

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• _Postulado de Bertrand [AKA Teorema de Chebyshev]_

  Para todos $n > 3$ hay al menos un número primo $p$ tal que $n < p < 2n-2$ .

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• Bounded Gaps [Zhang, Maynard, Tao, Polymath ]

  Hay infinitos huecos primos de longitud $246$ o menos. Suponiendo la Hipótesis de Riemann y la Conjetura de Elliot-Halberstam, este número es en cambio $6$ . (El enlace es a un documento de muy alto nivel).

Answer 2

Conjeturas sobre los primos: Cosas que No lo sé

En general, una conjetura es una afirmación que no está demostrada, pero que muchos matemáticos, quizá incluso una gran mayoría, consideran cierta, aunque no siempre es así. En algunos casos, refutar una de estas conjeturas alteraría muchas otras matemáticas en muchísimos campos, aunque estas alteraciones a menudo son bienvenidas como rompedoras de paradigmas.

Cualquier lista de conjeturas sobre los números primos es mucho más larga que la lista de teoremas sobre los números primos. Se podría sugerir razonablemente que existen infinitamente muchos posibles conjeturas sobre los primos. (Esta lista es, por tanto, incompleta).

Estas conjeturas son presentadas como preguntas en lugar de declaraciones. Esto se hace en parte para estar seguros de que no pueden interpretarse como verdaderas, y en parte para ayudar a dirigir los motores de búsqueda. Observe que algunos teoremas relacionados se incluyen cerca de las conjeturas con las que están relacionados, es decir, cuando una conjetura se ha confirmado parcialmente.

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Formas de números primos

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• _Hipótesis de Schinzel H_

  Brevemente: para cualquier conjunto finito de polinomios irreducibles $\{P_1(n), P_2(n), \cdots\}$ que no tienen un divisor primo común, ¿existen infinitos números enteros $n$ donde todos estos polinomios tienen valores primos?

  La hipótesis H, en algunos sentidos, incluye muchas de las conjeturas que se exponen a continuación.

  • Obsérvese que algunas expresiones son conocidas como "funciones generadoras de primos", quizás la más conocida de las cuales sea presentado por Euler : $n^2-n+41$ que genera primos para $1 \le n \le 40$ . Sin embargo, se desconoce si alguna de estas expresiones genera infinitos primos.

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• Conjetura de los primos gemelos

  ¿Hay infinitos primos $p$ para lo cual $p+2$ ¿también es primo? Quizá sea el problema sin resolver más conocido de las matemáticas. Tan simple, pero sin demostrar.

  • Teorema relacionado: Teorema de Chen

    Aunque todavía no sabemos con certeza cuáles son los primos gemelos, Chen demostró que hay infinitos primos tales que $p+2$ es o bien un primo o un semiprimo (producto de dos primos).

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• _Conjetura de Goldbach_

  ¿Puede cada entero par mayor que $2$ expresarse como la suma de dos números primos? Obsérvese que el Teorema de Chen se aplica también a la conjetura de Goldbach; es decir, todo número par es la suma de dos primos o un primo y un semiprimo.

  • Relacionado: _Teorema de Helfgott (anteriormente Goldbach Débil Conjetura_ )

    ¿Puede cada número impar mayor que $5$ expresarse como la suma de $3$ ¿números primos? En general, se considera demostrado, aunque muchas referencias aún lo mencionan como una conjetura. La prueba se presentó en 2013 y la comunidad matemática ha aceptado ampliamente la prueba. Aunque la prueba no se ha publicado en una revista, el hecho de que sea unas 250 páginas lo hacen más difícil . (Enlace al debate sobre MSE del propio Dr. Helfgott. Su libro es h pero si puedes entenderlo, es probable que no necesites esta página).

  • Teorema relacionado: Teorema de Chen

    En el mismo artículo que demuestra la versión aproximada de la conjetura de los primos gemelos, Chen demuestra que todo número entero par grande $N$ existe un primo $p$ tal que $N-p$ es un primo o un semiprimo.

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• Conjeturas de Hardy y Littlewood

  Hardy y Littlewood presentaron dos conjeturas, y desde entonces se ha demostrado que ninguna puede sobrevivir mientras la otra vive. La primera es una extensión de la conjetura de los primos gemelos en relación con los grupos de primos más grandes ( $k$ -tuplas).

  La segunda pregunta: ¿Es cierta la siguiente afirmación sobre la función de recuento de primos? $$\pi(x+y) \le \pi(x) + \pi(y)$$

  Por el momento, ninguna de las dos conjeturas ha recibido una respuesta positiva o negativa.

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• Preguntas sin respuesta sobre los primos de la forma [X]

  • ¿Hay más de cuatro primos de Fermat (forma $2^{2^n} + 1$ ), que es primo para $0 \le n \le 4$ ?
  • ¿Existen infinitos primos de Mersenne (forma $M_p = 2^p - 1$ )?
  • ¿ATIM Sophie Germain Primes y Safe Primes? Si $p_b = 2p_a +1$ y ambos $p_a, p_b$ son primos, $p_a$ es una Sophie Germain Prime, y $p_b$ es un Safe Prime.
  • ATIM ¿Primas de Fibonacci o de Lucas, primos que aparecen en esas secuencias?
  • ATIM Primas de Euclides (o primores primoriales) (forma $p_n\# \pm 1$ )?
  • Primas factoriales ATIM (forma $p = n! \pm 1$ )?
  • Y muchos, muchos más en Wikipedia .

• Preguntas frecuentes sin respuesta en M.SE

  • ATIM primos de la forma $n^2+1$ ? O cualquier otro orden- $2$ o polinomio irreducible superior, en particular los que cumplen las condiciones del Conjetura de Bunyakovsky ? Nosotros piense en probablemente los haya, pero no está probado y será difícil demostrarlo.
  • ATIM primos de la forma $2^k + a$ ? ¿O cualquier otra expresión exponencial?
  • Huecos primos ATIM de la forma [ expresión ]?

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Vacíos principales

• _Conjetura de Legendre_

  Para todos los números naturales $n$ ¿existe un número primo tal que $n^2 < p < (n+1)^2$ ?

  • Conjetura de Oppermann

    Yendo un paso más allá que Legendre: para todos los números naturales $n$ ¿existen dos números primos tales que $n^2 < p_1 < n(n+1) < p_2 < (n+1)^2$

  • Nota tiene se ha demostrado que para todos $n$ existe algún primo tal que $n^\mathbf{3} < p < (n+1)^\mathbf{3}$ .

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• Conjetura de Andrica

  ¿Es cierta la siguiente afirmación sobre la función de hueco primo? $$g(p_i) \le \sqrt{p_i} + 1$$

Answer 3

Simple Demostración de teoremas

Se publicará a continuación: simple pruebas de la simple teoremas discutidos.

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Teorema de Euclides : Ningún conjunto finito de primos contiene todos los números primos.

Prueba Consideremos un conjunto finito de $n$ números primos $P = \{p_1, p_2, \cdots p_n\}$ . Calcule $Q = p_1p_2p_3 \cdots p_{n-1}p_n + 1$ . $Q$ debe ser primo o compuesto. Si es primo, entonces $P$ no contiene todos los números primos, y la proposición es verdadera. Si $Q$ es compuesto, debe ser divisible por al menos dos números primos. Sin embargo, es indivisible por $p_1, p_2$ y todos los demás elementos de $P$ . Por lo tanto, al menos dos números primos están ausentes de $Q$ y la proposición queda demostrada.

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Prueba (después de Filip Saidak (2005) ) Dejemos $n$ sea un número entero positivo mayor que $1$ . Desde $n$ y $n+1$ son coprimos, $n(n+1)$ debe tener al menos dos factores primos distintos. Similarmente, $n(n+1)$ y $n(n+1)+1$ son coprimos, por lo que $n(n+1)(n(n+1) + 1)$ debe contener al menos tres factores primos distintos. Este proceso puede ampliarse infinitamente. $\square$