Aquí hay una pregunta que he estado trabajando en mi libro de texto de Álgebra Lineal (Larson, 8ª ed.) y me gustaría comprobar si lo que he estado haciendo es correcto.
Pregunta: Demostrar que si $S_{1}$ y $S_{2}$ son subespacios de $\mathbb{R}^{n}$ y si $\mathbb{R}^{n}=S_{1}\bigoplus S_{2}$ entonces $S_{1}\bigcap S_{2}=\left \{ \mathbf{0}\right \}$ .
Edita: $\mathbb{R}^{n}=S_{1}\bigoplus S_{2}$ se refiere a sumas directas donde cada vector $x$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^{n}$ puede escribirse unívocamente como suma de un vector $s_{1}$ de $S_{1}$ y un vector $s_{2}$ de $S_{2}$ tal que $x=s_{1}+s_{2}$ .
Mi respuesta hasta ahora:
Sea $S_{1}$ y $S_{2}$ sean subespacios de $\mathbb{R}^{n}$ s.t. $\mathbb{R}^{n}=S_{1}\bigoplus S_{2}$
Sea $\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{t} \right \}$ sea una base para $S_{1}$ y $\left \{ v_{t+1},v_{t+2},...,v_{n} \right \}$ sea una base para $S_{2}$ .
Desde $\mathbb{R}^{n}=S_{1}\bigoplus S_{2}$ entonces $\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{t},v_{t+1},...,v_{n} \right \}$ constituye una base para $\mathbb{R}^{n}$ .
Después de esto, estoy un poco atascado.
Si intento demostrarlo por contradicción, ¿qué puedo hacer para unir las dos afirmaciones? Me imagino que cualquier vector que viene de $S_{1}$ y $S_{2}$ debe tener un producto punto de $0$ por lo que asumo que existe un vector no igual al vector cero y que está en la intersección de los dos subespacios. Obviamente, este no sería el caso porque cualquier otro vector que venga de $S_{1}$ y $S_{2}$ deben dar como resultado 0 cuando se toman juntos para el producto punto. ¿Cómo relaciono esto con el enunciado anterior?
Cualquier ayuda será muy apreciada. Muchas gracias.
