Sea $R$ sea un dominio integral finito, y $a$ sea un elemento no nulo de $R$ . ¿Por qué es cierto que hay distintos $m, n$ tal que $a^m = a^n$ en $R$ ?
¿El hecho de que $R$ es finito implica que también debe ser cíclico? Si es así, entonces entiendo la respuesta a la pregunta que he formulado, pero entonces ¿por qué debe ser cíclico? ¿Todos los grupos finitos deben ser cíclicos? ¿Todos los anillos finitos?
Soy bastante nuevo en esto y me siento bastante confuso. Agradecería cualquier ayuda.
Si no existen $m$ y $n$ entonces los elementos $a,a^2,a^3,a^4,\dots$ son todos elementos distintos de $R$ . Pero estos elementos forman entonces un subconjunto infinito de $R$ lo que contradice la hipótesis de que $R$ era finito. (Nótese que esto no requiere $R$ ser un dominio o $a$ sea distinto de cero).
¿Todos los grupos finitos deben ser cíclicos?
Desde luego que no. Basta con mirar el Klein de 4 grupos . Para ver un poco más claro por qué, basta recordar que un grupo cíclico de orden $n$ debe contener un elemento de orden $n$ pero como se ve en el caso del grupo 4 de Klein, todos los elementos no identitarios tienen orden $2$ y ninguno tiene orden $4$ .
¿Todos los anillos finitos? (=¿El hecho de que $R$ es finito implica que también debe ser cíclico)?
Aquí hay una doble confusión: ¿qué significa que un anillo sea cíclico? Por lo visto, lo utilizas para decir que está generado multiplicativamente por un único elemento. Pero esto no puede ocurrir nunca en un anillo con identidad distinta de cero: tiene que haber un mínimo de $n$ y un mínimo $m$ tal que $a^n=1$ y $a^m=0$ . Si $m<n$ entonces $0=1$ y si $n<m$ tienes $a^m=1\cdot a^{m-n}=0$ pero $m-n$ es menor que m, contradiciendo la minimalidad de m. Otra forma de verlo es que $a^n=1$ implica que a es una unidad, pero $a^m=0$ implica que es un divisor cero, lo cual es contradictorio.
Por otra parte, es posible que los elementos no nulos formen un grupo cíclico, y de hecho es el caso de todos los campos finitos.
Es muy fácil encontrar anillos que no sean cíclicos en ninguno de los dos sentidos. Tomemos, por ejemplo, $F\times F$ donde F es el campo de dos elementos. Su grupo aditivo es el grupo de Klein 4, y multiplivativamente todo satisface $x^2=x$ por lo que no puede haber ningún generador multiplicativo del conjunto de tres elementos distintos de cero.
Sea $R$ sea un dominio integral finito, y $a$ sea un elemento no nulo de $R$ . ¿Por qué es cierto que hay distintos $m, n$ tal que $a^m = a^n$ en $R$ ?
Leer las líneas de pensamiento que has incluido me ha resultado útil: parecen sugerir que le estás dando demasiadas vueltas al asunto.
La forma principal (ya señalada) es observar que si no hubiera poderes de $a$ que coincidieran, el conjunto de potencias sería infinito, ya que hay tantas potencias como elementos en $\Bbb N$ .
Para replantearlo sin una prueba por contradicción, también se podría utilizar un Principio del encasillamiento argumento. Si el tamaño del anillo es n, mira las primeras n+1 potencias de a. Tienes que ordenar n+1 potencias en las n ranuras, por lo que una ranura debe contener al menos dos elementos.
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