Ayuda conceptual, ¿Por qué se nos permite fijar variables para resolver EDP?

Question

Me cuesta entender conceptualmente por qué se nos permite fijar una variable para resolver EDP y aún así obtener una solución general, tomemos el siguiente ejemplo por ejemplo.

Digamos que tenemos una ecuación diferencial parcial de la forma

$$ U_{x} + 2U_{y} + (2x-y)U = 2x^2 + 3xy - 2y^2$$ podemos utilizar el siguiente cambio de coordenadas $$\widetilde{x}=x+2y \\ \widetilde{y}=2x-y$$

y nos quedamos con

$$5U_\widetilde{x} + \widetilde{y}U=\widetilde{x}\widetilde{y}$$

$\textbf{We can now solve this by fixing $ \widetilde{y} $ to get}$ $$U(\widetilde{x},\widetilde{y})= (\widetilde{x} - \frac{5}{\widetilde{y}})+\exp(\frac{-\widetilde{x} \widetilde{y}}{5})f(\widetilde{y})$$

Cuando se vuelve a las coordenadas originales se obtiene

$$U(x,y) = (x+2y - \frac{5}{2x-y})+e^{-x-2y}g(2x-y)$$

Lo que me cuesta entender conceptualmente es por qué se nos permite arreglar $\widetilde{y}$ ? Además, ¿por qué la solución es entonces aplicable a todos $\widetilde{y}$ cómo es que la solución no se limita sólo a fijos $\widetilde{y}$ valores, ya que eso es lo que usamos para obtener la solución?

Answer 1

Estrictamente hablando, no estás arreglando $y$ pero estás usando un factor integrador para integrar una derivada parcial con respecto a $x$ .

Si se multiplican ambos lados de la ecuación por $\frac{e^{\tilde{x} \tilde{y}}}{5}$ la EDP se convierte en: \begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial \tilde x} \left(U e^{\frac{\tilde x \tilde y}{5}} \right) = \frac{1}{5} \tilde x \tilde y e^{\frac{\tilde x \tilde y}{5}} = \dfrac{\partial }{\partial \tilde x} \left( \left( \tilde x -\frac{5}{\tilde y} \right)e^{\frac{\tilde x \tilde y}{5}} \right), \end{equation} es decir \begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial \tilde x} \left(\left(U-\tilde x + \frac{5}{\tilde y} \right) e^{\frac{\tilde x \tilde y}{5}} \right) = 0. \end{equation} Así que tienes una función cuya derivada parcial WRT $\tilde x$ es cero, así que no importa cuánto cambies $\tilde x$ la función seguirá siendo la misma si $\tilde y$ no cambia. Esto significa que el argumento dentro del operador diferencial sólo puede ser una función de $\tilde y$ . A priori esto es desconocido y se le puede llamar $f(\tilde y)$ - a continuación, se determina mediante los datos iniciales/limítrofes.