¿Existen ciertas condiciones que $a_n$ para que esta serie converja?

Question

Supongamos que tenemos una serie alterna de la forma $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{a_n}}{n}$$ Sabemos que esto converge para algunos casos básicos, como cuando $a_n=n$ (el suma evaluando a $-\ln2$ ) o para patrones alternativos interesantes como $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\frac{\pi}{4}-\frac{\ln2}{2}$$ También recuerdo haber visto una pregunta aquí sobre una alternancia parecida a un patrón factorial, algo así como $$1-\underbrace{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)}_{2!\text{ terms}}+\underbrace{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)}_{3!\text{ terms}}-\cdots$$ que puede o no haber convergido, parece que no puedo encontrarlo...

¿Hay alguna generalización que se pueda hacer sobre las condiciones de $a_n$ para este tipo de series?

Answer 1

No creo que vayas a encontrar un caracterización que no es sólo una versión disfrazada de "la serie converge si y sólo si la serie converge"; la convergencia de esta serie es una ding an sich (¿?), me parece.

Pero la serie sí converge para la "mayoría" de las opciones. Si $(\epsilon_n)$ es una secuencia de más o menos unos elegidos "al azar" entonces la serie $\sum \epsilon_n/n$ converge casi con seguridad.

(Estuve a punto de dar una declaración más precisa de eso, pero decidí que sería una tontería; cualquiera que tenga los conocimientos necesarios para entender la declaración precisa debería ser capaz de formularla por sí mismo. En cuanto a probando de la Ley de los Grandes Números).