¿Qué se sabe sobre la coherencia de $2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+\gamma}$ para todos $\alpha$ ?

Question

Para $\gamma$ un ordinal, sea " $H_\gamma$ " sea la declaración:

Para todos los ordinales $\alpha$ tenemos $2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+\gamma}$ .

Así que claramente $H_0$ es falso, y también lo es $H_\omega$ de hecho, $H_\gamma$ implica que $\gamma$ es sucesor (porque de lo contrario $\operatorname{cf}\gamma = \omega_\alpha$ y $\aleph_{\alpha+\gamma} = 2^{\aleph_\alpha} = (2^{\aleph_\alpha})^{\aleph_\alpha} = (\aleph_{\alpha+\gamma})^{\aleph_\alpha} = (\aleph_{\alpha+\gamma})^{\operatorname{cf}\aleph_{\alpha+\gamma}}$ da una contradicción).

Por otro lado, $H_1$ es precisamente la hipótesis del continuo generalizado (GCH) y es coherente con respecto a ZFC.

Entiendo por esta pregunta y éste que $H_2$ se sabe que es consistente en relación con ciertos supuestos cardinales grandes, y quizás incluso $H_k$ para cualquier $k < \omega$ .

¿Qué más se sabe, si es que se sabe algo, sobre la coherencia de las distintas $H_\gamma$ ? ¿Podríamos quizás construir¹ un ordinal sucesor $\gamma$ para lo cual $H_\gamma$ es demostrablemente falso?

1. Hay que reconocer que no sé cómo formular esta pregunta correctamente, porque está claro que "el ordinal sucesor más pequeño para el que $H_\gamma$ es falso" es un ordinal sucesor definible para el que $H_\gamma$ es demostrablemente falsa, lo que claramente no es lo que estoy preguntando. Pero una prueba en ZFC que $H_{\omega+1}$ es falsa (digamos) sería una buena respuesta a mi pregunta.

Answer 1

1. Por un resultado de Patai, $\gamma$ debe ser finito (es el ejercicio 5.15 del libro de Jech).

2. Para cualquier $n>0, H_n$ es coherente, véase el artículo de Merimovich Una función de potencia con un hueco finito fijo en todas partes .

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Para completar y puesto que no todo el mundo tiene a mano el libro de Jech, he aquí cómo va la demostración de (1) (nótese que Jech utiliza " $\beta$ " en lugar de " $\gamma$ "). Supongamos que $\gamma\ge \omega$ es tal que $2^{\aleph_\eta}=\aleph_{\eta+\gamma}$ para todos $\eta$ . Dejar $\alpha$ sea mínimo de forma que $\alpha+\gamma>\gamma$ tenemos $0<\alpha\le\gamma$ y $\alpha$ es un límite. Considere $\kappa=\aleph_{\alpha\cdot 2}$ . Este $\kappa$ es obviamente singular y por elección de $\alpha$ tenemos $$2^{\aleph_{\alpha+\xi}}=\aleph_{\alpha+\xi+\gamma}=\aleph_{\alpha+\gamma}$$ para cada $\xi<\alpha$ . De aquí obtenemos $$2^\kappa=\aleph_{\alpha+\gamma}$$ (más en general, si $\lambda$ es singular y $\mu=\max\{2^\theta:\theta<\lambda\}$ existe entonces $2^\lambda=\mu$ ). Por otra parte, tenemos $$2^\kappa=\aleph_{\alpha\cdot 2+\gamma}=\aleph_{\alpha+(\alpha+\gamma)}>\aleph_{\alpha+\gamma}$$ de nuevo por elección de $\alpha$ . Así que tenemos una contradicción.