¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

Question

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

1. $\log\dfrac{x+y}{2}\le\dfrac{\log x+\log y}{2}~\forall~x,y>0;$

2. ${e}^{\frac{x+y}{2}}\leq\dfrac{e^x+e^y}{2}~\forall~x,y>0.$

Answer 1

Pista: Utiliza la desigualdad de Jensen.

Answer 2

La segunda es cierta, ya que $\exp(x)$ es cóncava hacia arriba en cualquier intervalo $I$ y para todos $x,y\in I$ tal que $x<y$ . Tenga en cuenta que $$\exp(a)<\frac{y-a}{y-x}\exp(x)+\frac{a-x}{y-x}\exp(y)$$ donde $x<a<y$ .

Answer 3

La pregunta puede reformularse como "¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

(1) $\log x$ es el punto medio convexo .

(2) $e^x$ es convexo en el punto medio".

Para funciones continuas de valor real en subconjuntos conexos de $\Bbb R$ la convexidad del punto medio es equivalente a la convexidad. Cuando tal función es diferenciable (como en estos casos), podemos demostrar que la convexidad se mantiene mostrando que la segunda derivada es no negativa en todo el dominio, y podemos demostrar que la convexidad falla encontrando un punto en el dominio donde la segunda derivada es negativa. (Por supuesto, puede que todavía no tengas la diferenciación en tu caja de herramientas).

Cabe señalar que las dos funciones son inversas entre sí, por lo que una de ellas es convexa si y sólo si la otra es cóncava. Las únicas funciones que son a la vez convexas y cóncavas son las funciones lineales. Por tanto, a lo sumo una de ellas es cierta.

Answer 4

1. $x=1, y=2$

2.Aplicación de la desigualdad AM-GM.