Sea $\{Y_n,n\ge1\}$ sean variables aleatorias i.i.d., y $P\{Y_i=1\}=p, P\{Y_i=-1\}=q=1-p,p>1/2>q$ .
Sea $S_0=0,S_n=\sum_{k=1}^nY_k$ y $T=\min\{n:S_n\ge b\}$ con $b>0$ .
¿Cuál es el valor esperado y la varianza de $T$ ?
Respuestas
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En otras palabras, se busca la media y la varianza del primer tiempo de paso de un paseo aleatorio discreto, dada una barrera absorbente en $b > 0$ .
Puedes encontrar la derivación / solución detallada en un texto como:
Cox y Miller (1965), Teoría de los procesos estocásticos , Chapman y Hall
[Véase la sección 2.2 .... p.38 en mi ejemplar].
Obtienen la solución muy ordenada para la media como: $\frac{b}{2p-1}$ ... dado $p > \frac{1}{2}$
y también una solución para la varianza.
Did
Puntos
1
Para llegar a $b$ a partir de $0$ hay que llegar a $1$ a partir de $0$ para llegar a $2$ a partir de $1$ ..., y finalmente llegar a $b$ a partir de $b-1$ . Por la propiedad de Markov y la invariancia traslacional del paseo aleatorio, esto demuestra que $T_b$ es la suma de $b$ copias i.i.d. de $T_1$ de ahí $E[T_b]=b\cdot E[T_1]$ et $\mathrm{var}(T_b)=b\cdot \mathrm{var}(T_1)$ .
En relación con $T_1$ la recursividad habitual de un paso funciona perfectamente. Por lo tanto, $T_1=1$ con probabilidad $p$ et $T_1=1+T'_1+T''_1$ con probabilidad $q$ donde $T'_1$ et $T''_1$ son copias i.i.d. de $T_1$ . La función generadora $g(s)=E[s^{T_1}]$ resuelve $g(s)=s(p+qg(s)^2)$ . Se puede deducir de esta identidad (sin siquiera identificar plenamente $g$ ) los valores de $g'(1)=E[T_1]$ et $g''(1)=E[T_1(T_1-1)]$ y, por último, los valores de $E[T_1]=g'(1)$ et $\mathrm{var}(T_1)=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$ .
$E[T_1]=1/(p-q)$ , $\mathrm{var}(T_1)=4pq/(p-q)^2$ .
