Sea G un grupo abeliano, $G \setminus \{g\}$ sea un grupo $\forall g \in G$ . $$\phi_g : G \rightarrow G \setminus \{g\}, \phi(x) := \begin{cases} e & x = g \\ x & \text{otherwise}\end{cases}$$ $\phi$ debería ser un homomorfismo de grupo, según mis notas. Pero, ¿es esto realmente cierto?
$a \cdot g = c \Rightarrow \phi(ag) = \phi(c) = c, \phi(a) \phi(g) = \phi(a) e = \phi(a) = a \neq c$ .
¿Me he perdido algo? ¿Tiene esto algo que ver con que G sea un grupo abeliano?
$G\setminus \{g\}$ sólo puede ser un grupo si $G$ es un grupo con dos elementos y $g$ es el elemento no identitario.
Para verlo supongamos $G$ tiene más de dos elementos y suponemos que quitando $x$ lo convierte en un grupo.
tomar un elemento no identitario $y$ diferente de $x$ entonces existe un $b$ para que $yb=x$ ya que $b$ es precisamente $xb^{-1}$ . Además, podemos demostrar $b$ no es $x$ ya que de lo contrario $yx=x$ Significado $y=e$ .
Entonces tenemos $yb=x$ Significado $G\setminus \{x\}$ no puede ser un grupo ya que no es cerrado.
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