¿Por qué son equivalentes las dos definiciones de grupo generador de un grupo?

Question

$\left( G, \circ \right)$ es un grupo:

Definición 1: $\left<S\right>$ es un subconjunto tal que cada elemento del grupo puede expresarse como la combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos.

Definición 2: $\left<S\right>$ es el subgrupo más pequeño de $G$ tal que $S \subseteq \left<S\right>$ .

¿Por qué son equivalentes ambas definiciones?

Answer 1

Arreglemos algo de notación.

1. Sea $H_1$ sea el subgrupo formado por combinaciones de elementos de $S$ y sus inversos.
2. Sea $H_2$ sea el subgrupo "más pequeño" que contenga a $S$ .

Cuando decimos "pequeño" en este contexto, lo que queremos decir es que $A$ es "más pequeño" que $B$ si $A\subseteq B$ . Una formulación más rigurosa de la segunda definición es algo así como

3. Si $H$ es un subgrupo y $S\subseteq H$ entonces $H_2\subseteq H$ . (es decir, $H_2$ es menor que cualquier subgrupo que contenga $S$ .)

Esta es la definición con la que trabajaré en lugar de la segunda.

Quiero convencerte ahora de que $H_1=H_2$ . La forma habitual de hacer este tipo de cosas es demostrar que $H_1\subseteq H_2$ y $H_2\subseteq H_1$ .

Debe quedar claro que $H_2\subseteq H_1$ ya que $H_1$ contiene $S$ y $H_2$ está contenido en cualquier subgrupo que contenga $S$ por definición. A la inversa, cualquier subgrupo de $G$ que contiene $S$ también debe contener todas las combinaciones de elementos de $S$ y sus inversos. Esto se debe a que un subgrupo tiene que ser cerrado bajo multiplicación y tomando inversos. En otras palabras, cualquier subgrupo de $G$ que contiene $S$ debe contener $H_1$ y, en particular $H_1\subseteq H_2$ .

Answer 2

Supongamos que un grupo $G$ y un subconjunto $S\subset G$ se dan.

A continuación, el conjunto $S$ es un grupo electrógeno si $\ldots$

Definición 1: $\quad\ldots$ cada elemento $g\in G$ puede escribirse como un producto finito de elementos de $S\cup S^{-1}$ ;

Definición 2: $\quad\ldots$ cualquier subgrupo $H\subset G$ que contiene el conjunto $S$ es de hecho $=G$ .

Su definición 1 es correcta con la condición de que $\langle S\rangle$ debe sustituirse por $S$ . Por $\langle S\rangle$ comúnmente se denota el conjunto "generado" por $S$ es decir, el conjunto de productos descritos en el texto de la definición 1.

Tu definición 2 no tiene sentido: Desde $S\subset\langle S\rangle$ siempre es verdad sólo dice que $\langle S\rangle$ es el subgrupo más pequeño de $G$ - exactamente lo contrario de la intención.