clasificación de los grupos de orden $4p, p\ge 5$ Necesito ayuda para encontrar un automorfismo

Question

Así que he estado trabajando en este problema para mi clase de preparación qual, y lo tengo todo abajo, excepto por un detalle. Lo estoy haciendo por productos semidirectos, y con el Sylow $p$ grupo normal, eligiendo el caso en que el subgrupo Sylow 2 sea cíclico.

Es en el caso especial cuando el primo es congruente con $1$ , mod $4$ . Entonces obtenemos un subgrupo extra, ya que hay un automorfismo extra de orden 4. Mi problema es ....¿Cómo encuentro este automorfismo? Yo sabría que sería el generador del grupo a la $\frac {p-1} 4$ potencia, pero estuve buscando en internet y no parecía haber una fórmula general para encontrar un generador de un grupo multiplicativo del campo finito de orden $p$ . Entonces... ¿hay otra forma de especificar este automorfismo de orden 4 en el grupo de automorfismos de grupos Cíclicos de orden primo que son congruentes a 1 mod 4?

¿O estoy atascado sólo diciendo "¡Elige ese elemento!"

Answer 1

Si $p \equiv 1$ mod $4$ , $p=1+4m$ entonces $(p-1)! \equiv -1$ mod $4$ (Wilson). Por lo tanto $(2m)!\prod\limits_{i=0}^{2m-1+}(2m+1+i) \equiv -1$ Ahora $4m+1 \equiv 0$ así que $2m+1 \equiv -2m$ Por lo tanto $(2m)!\prod\limits_{i=0}^{2m-1+}(-2m+i) \equiv -1$ Así que $(2m)!\prod\limits_{i=0}^{2m-1+}(-1)(2m-i) \equiv -1$ por lo tanto $(2m)!(-1)^{2m}\prod\limits_{i=0}^{2m-1}(2m-i) \equiv -1$ Por lo tanto $[(2m)!]^{2} \equiv -1$ Esto indica que la clase $m$ de $(\frac{p-1}{2})!$ tiene orden $4$ . Ahora bien, la multiplicación por $m$ es un automorfismo de orden 4. $(-m)$ es el otro elemento de orden 4, y ambos son los únicos, ya que $x^{4}=1$ tiene $4$ soluciones, dos de las cuales son $1$ y $-1$ .