Distancia entre dos curvas de nivel de la FCD bivariante

Question

Considero una función de distribución acumulativa bivariante $F(x,y)$ y dos de sus curvas de nivel. Puedo escribir estas curvas de nivel como las gráficas de las funciones $c_1(x)$ y $c_2(x)$ . Digamos que $c_2$ corresponde a un nivel superior, de modo que $$c_2(x)-c_1(x)\geq 0.$$

¿Puedo concluir también que la diferencia entre $c_2$ y $c_1$ es monótona en $x$ -- es decir, en caso de que $F$ es absolutamente continua, ¿puedo concluir que $$c'_2(x)-c'_1(x)\leq 0$$ para todos $x$ o $$c'_2(x)-c'_1(x)\geq 0$$ para todos $x$ ?

Answer 1

Considere el pdf sobre $[0,1]^2$ dada por \begin{align} p(x,y)&=6(x-y)^2 \\ F(x,y)&=\int_{u=0}^x\int_{v=0}^y p(u,v)du\, dv = xy(2x^2-3xy+2y^2) \end{align}

Entonces la falta de monotonicidad queda clara en el gráfico de contorno para $F$ :

Si $c_1$ es el contorno para 0,1, y $c_2$ es el contorno para 0,2, entonces los espacios entre ellos son las alturas de la segunda región sombreada en el gráfico.

Los cálculos pueden hacerse inusualmente explícitos porque el contorno del cuantil $q$ tiene la fórmula $$ \frac{3u^{1/3} + 3x^2 -x^4/u^{1/3} }{6x}, \text{ where } $$ $$ u = 2x^2 \left(q + \sqrt{q^2-x^4q+7x^8/27}\right)-x^6 $$

Así que en particular podemos refutar la monotonicidad calculando: \begin{align} c_2'(0.5)-c_1'(0.5) &= 0.23\\ c_2'(0.9)-c_1'(0.9) &= -0.69 \end{align}